応力の結果

応力合力は、梁、プレート、シェルなどの構造要素の応力状態を簡略化して表現したものです。^[1] 一般的な構造要素の形状では、要素のサイズが他の方向よりもはるかに小さい「厚さ」方向が存在するため、内部応力状態を簡略化できます。その結果、断面内の点ごとに異なる3 つの牽引成分は、一連の合力と合モーメントに置き換えることができます。これらは、構造要素の詳細な応力状態を決定するために使用できる応力合力(膜力、せん断力、曲げモーメントとも呼ばれます) です。3 次元の問題は、1 次元の問題 (梁の場合) または 2 次元の問題 (プレートとシェルの場合) に縮小できます。

応力合力は、構造要素の厚さにわたる応力の積分として定義されます。積分は、厚さ座標z (またはx _{3 ) の整数乗で重み付けされます。応力合力は、梁または}シェル (構造)に対する膜力N ( zの乗はゼロ)、曲げモーメントM (乗は 1)として応力の影響を表すように定義されます。応力合力は、プレートおよびシェルの理論の方程式から応力のz依存性を排除するために必要です。

隣の図に示す要素を考えてみましょう。厚さ方向がx ₃であると仮定します。要素が梁から抽出された場合、幅と厚さのサイズは同程度です。幅方向をx ₂とします。すると、長さ方向は x _{1になります。}

x ₁軸 に垂直な断面 ( A )における牽引力による合力ベクトルは、

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2 }+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

ここで、e ₁、e ₂、e _{3 はそれぞれ}x ₁、x ₂、x ₃に沿った単位ベクトルである。応力の結果は次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e } _{3}}$

ここで、N ₁₁は膜力、V ₂、V _{3 は}せん断力です。より具体的には、高さt、幅bの梁の場合、

${\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

同様にせん断力の結果は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

x ₁軸に垂直な断面Aの応力による曲げモーメントベクトルは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

この表現を展開すると、

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _ {13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12} \,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

曲げモーメントの合力成分は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

プレートとシェルの場合、x ₁およびx _{2 の寸法は、} x ₃方向のサイズよりもはるかに大きくなります。断面積にわたる積分には、大きい方の寸法の 1 つを含める必要があり、実際の計算には単純すぎるモデルになります。このため、応力は厚さのみで積分され、応力の結果は通常、梁の場合のような実際の力とモーメントではなく、 単位長さあたりの力(または単位長さあたりのモーメント) の単位で表されます。

プレートとシェルの場合、2つの断面を考慮する必要があります。1つ目はx _{1軸に垂直で、2つ目は}x ₂軸に垂直です。梁の場合と同じ手順に従い、結果は単位長さあたりであることを念頭に置くと、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

上記は次のように書くことができる。

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}$

ここで膜力は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

そしてせん断力は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

曲げモーメントの結果については、

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

ここでr = x ₃ e ₃である。これらの式を展開すると、

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

曲げモーメントの合力を次のように定義する。

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

すると、曲げモーメントの結果は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

これらは文献によく見られる結果ですが、記号が正しく解釈されるように注意する必要があります。

• せん断力
• 曲げモーメント
• プレート理論
• プレートの曲げ
• キルヒホッフ・ラブプレート理論
• ミンドリン・ライスナープレート理論
• プレートの振動