ベルの宇宙船パラドックス

ベルの宇宙船のパラドックスは、特殊相対性理論における思考実験です。これは、1959 年に E. Dewan と M. Beran によって初めて記述されました^{[ 1 ]}が、1976 年にJohn Stewart Bell がこのアイデアをさらに発展させたことで、より広く知られるようになりました^{[ 2 ]。}繊細な糸が、慣性系Sで最初は静止している2 隻の宇宙船の間に垂れ下がっています。それらは、S で測定すると、同じ方向に同時に等しく加速し始め、S から見ると常に同じ速度になります。したがって、それらはすべて同じローレンツ収縮を受け、全体のアセンブリは開始時の長さに対して S フレームで等しく収縮しているように見えます。一見すると、加速中に糸が切れることはないように見えるかもしれません。

しかし、この議論は、DewanとBeran、そして後にBellによって示されたように誤りである。^{[ 1 ] [ 2 ]}宇宙船間の距離は、開始時の距離に関してローレンツ収縮を受けない。なぜなら、Sでは、両方の宇宙船がSで等しく同時に加速するため、距離は実質的に同じままであると定義されているからである。また、宇宙船の加速が同時性の相対性によりここでは同時ではないため、宇宙船が瞬間的に静止しているフレーム(S′)では、2つの間の静止長が増加していることも判明している。一方、糸は静電気力によって一緒に保持されている物理的な物体であるため、同じ静止長を維持する。したがって、フレームSでは、糸はローレンツ収縮しなければならない。この結果は、運動する物体の電磁場を考慮する場合にも導き出すことができる。したがって、両方のフレームで行われた計算は、糸が切れることを示している。S′では、同時ではない加速と宇宙船間の距離の増加のために、Sでは、糸の長さの収縮のために。

以下では、物体の静止長^{[ 3 ]}または固有長^{[ 4 ]}とは、その物体の静止系で測定した長さのことである。（この長さは、物体の静止系において、2つの事象が両端で同時に測定されるという特殊な場合における、2つの事象間の固有距離に相当する。^{[ 4 ]}）

デワンとベランは、次のように書いて思考実験を述べた。

「慣性系S内で静止している、同一の構造を持つ2つのロケットを考えます。それらは同じ方向を向き、互いに前後に並んでいるとします。あらかじめ決められた時刻に両方のロケットが（Sに対して）同時に点火されると仮定すると、Sに対するそれらの速度は、実験の残りの間ずっと常に等しくなります（たとえそれらが時間の関数であっても）。これは定義により、Sに対して、 2つのロケット間の距離は、それらが相対論的速度まで加速しても変化しないことを意味します。」^{[ 1 ]}

そしてこの手順をもう一度繰り返すが、今度は最初のロケットの後部と2番目のロケットの前部を絹糸でつないだ。彼らは次のように結論付けた。

「特殊理論によれば、糸はSに対して速度を持つため、Sに対して収縮しなければならない。しかし、ロケットはSに対して一定の距離を保つため、糸（最初は張っていると仮定した）は収縮できない。したがって、十分な速度に達すると、糸は最終的に弾性限界に達して破断するまで応力が発生するはずである。」^{[ 1 ]}

デワンとベランはまた、ローレンツ変換を適用することにより、最初のロケットと瞬間的に共動する慣性系の観点から結果について議論した。

"以来${\displaystyle \scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$、（…）ここで使用されている各フレームは、${\displaystyle vx/c^{2}}$要因。次のように示せる。${\displaystyle v}$が増加すると、前方のロケットは瞬間的な慣性系に対して後方のロケットからより大きな距離にあるように見えるだけでなく、より早い時間に開始したように見えるでしょう。」^{[ 1 ]}

彼らは次のように結論付けた。

「慣性系に対して物体のすべての部分が同じ加速度を持つように（あるいは、慣性系に対してその寸法が固定され、回転がないように）物体が運動するように拘束されている場合、そのような物体は一般に相対論的応力を受けることになると結論づけることができる。」^{[ 1 ]}

次に、彼らは、a)連結された棒の両端間の距離と、b)慣性系に対して同じ速度で移動する連結されていない2つの物体間の距離との間に違いがあってはならないという反論について議論した。デワンとベランは、次のように論じることでこれらの反論を解消した。

• ロケットは全く同じ構造で、S座標系において同じ瞬間に同じ加速度で出発するため、S座標系においては常に同じ速度で飛行するはずです。したがって、S座標系においてロケットは同じ距離を移動するため、この座標系におけるロケット間の距離は変化しません。もしS座標系において距離が縮むとすれば、この座標系においてもロケットの速度が異なることになり、構造と加速度が等しいという当初の仮定と矛盾します。
• 彼らはまた、a)とb)の間には確かに違いがあると主張した。a)は、 _S0における棒の静止長_l0の概念に基づく通常の長さ収縮の場合であり、棒が剛体とみなせる限り、l0は常に一定である。このような状況下では、棒はSで収縮している。しかし、b)では、S0における不均等な加速度のために距離が増加するため、距離を剛体とみなすことはできない_。ロケットはこれを補償するために互いに情報を交換し、速度を調整する必要がある。これらの複雑な問題はすべてa)では発生しない。

ベルの思考実験では、3 隻の宇宙船 A、B、C は、共通の慣性座標系で最初は静止しており、B と C は A から等距離にある。次に、A から B と C に同時に信号が送られ、B と C は垂直方向に加速し始める (同じ加速プロファイルが事前にプログラムされている) が、A は元の座標系で静止したままである。ベルによれば、これは B と C (A の静止座標系から見た場合) が「常に同じ速度を持ち、互いに一定の距離だけずれたままになる」ことを意味する。ここで、B と C の間に脆い糸が結ばれているとすると、長さの収縮により糸の長さが足りなくなり、切れてしまう。ベルは、「自然な収縮を人為的に阻止すると、耐え難いストレスがかかる」と結論付けた。^{[ 2 ]}

ベルは、パラドックスを発表した際に「著名な実験家」から強い懐疑的な反応を受けたと報告した。この論争を解決するため、CERNで非公式かつ非体系的な意見調査が行われた。ベルによれば、弦は切れないという誤った主張で「明確な合意」が得られたという。ベルはさらにこう付け加えている。

もちろん、最初に間違った答えを出した人でも、よく考えてみると正しい答えにたどり着くことはよくあります。たいていの場合、彼らは観察者BやCから物事がどのように見えるかを考えざるを得ないと感じるのです。例えば、BはCがどんどん後ろに下がっていくのを見て、与えられた糸ではもはやその距離を渡りきれないことに気づきます。こうしたことをようやく理解し、おそらく多少の不安感を抱えながらも、最終的に彼らは、フィッツジェラルドの縮約を含めたAの説明からすれば全く自明な結論を受け入れるのです。

一般的に、デワンとベラン、そしてベルは、相対論的応力は物体のすべての部分が慣性系に対して同じように加速されるときに発生し、長さの収縮は実際の物理的結果をもたらすと結論づけた。例えば、ベルは、物体の長さの収縮と、S座標系内の物体間の長さの収縮がないことは、相対論的電磁気学を用いて説明できると主張した。歪んだ分子間電磁場は、運動する物体を収縮させるか、あるいは収縮が妨げられると応力を発生させる。対照的に、物体間の空間にはそのような力は作用しない。^{[ 2 ]}（一般的に、リチャード・ファインマンは、一定速度で運動する電荷の電位（リエナール・ヴィーヘルト電位で表される）の場合からローレンツ変換を導出できることを示した。歴史的側面については、ファインマンはヘンドリック・ローレンツもほぼ同じ方法でローレンツ変換に到達したことを示唆している。 ^{[ 5 ]}ローレンツ変換の歴史も参照。）

しかし、Petkov (2009) ^{[ 6 ]}と Franklin (2009) ^{[ 3 ]}はこのパラドックスを異なるように解釈している。彼らは、ロケットの座標系における加速度の不均等によって弦が切断され、その結果、両座標系間の静止長が増加するという結果には同意した（解析セクションのミンコフスキー図を参照）。しかし、彼らは、これらの応力が S における長さの収縮によって引き起こされるという考えを否定した。これは、彼らの意見では、長さの収縮には「物理的な実在」はなく、単にローレンツ変換、つまりそれ自体では応力を全く引き起こすことができない4 次元空間における回転の結果にすぎないからである。したがって、S を含むすべての参照系におけるこのような応力の発生と弦の切断は、相対論的加速度のみの影響であると考えられる。^{[ 3 ] [ 6 ]}

Paul Nawrocki (1962) gives three arguments why the string should not break,^[7] while Edmond Dewan (1963) showed in a reply that his original analysis still remains valid.^[8] Many years later and after Bell's book, Matsuda and Kinoshita reported receiving much criticism after publishing an article on their independently rediscovered version of the paradox in a Japanese journal. Matsuda and Kinoshita do not cite specific papers, however, stating only that these objections were written in Japanese.^[9]

However, in most publications it is agreed that the string will break, with some reformulations, modifications and different scenarios, such as by Evett & Wangsness (1960),^[10] Dewan (1963),^[8] Romain (1963),^[11] Evett (1972),^[12] Gershtein & Logunov (1998),^[13] Tartaglia & Ruggiero (2003),^[14] Cornwell (2005),^[15] Flores (2005),^[16] Semay (2006),^[17] Styer (2007),^[18] Freund (2008),^[19] Redzic (2008),^[20] Peregoudov (2009),^[21] Redžić (2009),^[22] Gu (2009),^[23] Petkov (2009),^[6] Franklin (2009),^[3] Miller (2010),^[24] Fernflores (2011),^[25] Kassner (2012),^[26] Natario (2014),^[27] Lewis, Barnes & Sticka (2018),^[28] Bokor (2018).^[29] A similar problem was also discussed in relation to angular accelerations: Grøn (1979),^[30] MacGregor (1981),^[31] Grøn (1982, 2003).^[32][33]

Immediate acceleration

Minkowski diagram: Length ${\displaystyle L'}$ between the ships in S′ after acceleration is longer than the previous length ${\displaystyle L'_{old}}$ in S′, and longer than the unchanged length ${\displaystyle L}$Sでは、細い線は「同時性の線」です。

同じシナリオのローデル図

同様に、ベルの宇宙船のパラドックスの場合、初期静止長と${\displaystyle L}$船間距離（加速後のSの移動距離と同一）と新しい静止距離${\displaystyle L'}$加速後のS′では、次のようになります。^{[ 3 ] [ 6 ] [ 8 ] [ 16 ]}

${\displaystyle L'=\gamma L}$。

この長さの増加はさまざまな方法で計算できます。たとえば、加速が終了すると、船は最終静止系S′で常に同じ位置に留まるため、SからS′に変換されたx座標間の距離を計算するだけで済みます。${\displaystyle x_{A}}$そして${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$S における船の位置は、新しい静止座標系 S′ における位置は、次のようになります。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

別の方法は、同時性の相対性の重要性を示したDewan（1963）によって示された。^{[ 8 ]}フレームS′の視点では、加速が終了した後に両方の船が静止している。船は同時に加速している。${\displaystyle t_{A}=t_{B}}$Sでは（微小時間での加速を仮定）、同時性の相対性によりBはAよりも先にS′で加速して停止するが、その時間差は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

加速前は船はS′内で同じ速度で移動しているので、初期静止長は${\displaystyle L}$S では S′ では短縮され${\displaystyle L'_{old}=L/\gamma }$長さの収縮により、S′の座標系から見ると、BはAよりも先に加速を開始し、Aよりも先に加速を停止します。このため、Aの加速も終了し、両者がS′に対して静止するまで、Bは常にAよりも高い速度を持ちます。Aが加速を停止するまで、BとAの間の距離は増加し続けます。Aの加速のタイムラインはオフセットによって遅延しますが、${\displaystyle \Delta t'}$AとBはそれぞれ同じ距離を加速して進みます。しかし、Bのタイムラインには加速とS'での静止が含まれています。${\displaystyle \Delta t'}$Aが加速を停止するまで。したがって、全コース中にBが移動した余分な距離は、この段階でBが移動した距離を測定することによって計算できます。Dewanは、次の関係式（異なる表記法）にたどり着きました。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=L'_{old}+v\Delta t'={\frac {L}{\gamma }}+{\frac {\gamma v^{2}L}{c^{2}}}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

また、複数の著者によって、Sにおける一定の長さとS′における長さの増加は、長さ収縮の公式と一致すると指摘されている。${\displaystyle L=L'/\gamma }$初期静止長が${\displaystyle L}$増加${\displaystyle \gamma }$S′では、Sで同じ係数で縮約されているため、Sでは同じままです。^{[ 6 ] [ 14 ] [ 18 ]}

${\displaystyle L_{contr.}=L'/\gamma =\gamma L/\gamma =L}$

まとめると、船間の静止距離は増加し、${\displaystyle \gamma L}$S′では、相対性原理により、弦（その物理的構成は変化しない）は静止長を維持する必要がある。${\displaystyle L}$新しい静止系S′において。したがって、船間の距離が増加するため、S′で切断されます。上記のように、船間の距離が等しい加速度により同じままである間、弦の長さの収縮（またはその移動する分子場の収縮）を使用して開始フレームSのみを考慮することによっても同じ結果が得られます。

一定の固有加速度

同じ方向に同じ大きさの固有加速度（双曲線運動）で加速する2人の観測者AとBの世界線（紺色の曲線）。A′とB′では、観測者は加速を停止する。

ボルン剛体加速系における2人の観測者は、同じリンドラー地平線を持つ。彼らは、どちらか一方の固有時刻をリンドラー系の座標時刻として選択することができる。

同じ固有加速度を持つ2人の観測者（ベルの宇宙船）。彼らは同じリンドラー座標系では静止していないため、異なるリンドラー地平線を持つ。

特殊相対性理論では、瞬間的な方向転換の代わりに、より現実的な一定の固有加速度、すなわち共動加速度計によって示される加速度を記述することもできます。これにより双曲線運動が実現し、観測者は瞬間的な慣性系を連続的に変化させます^{[ 34 ]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)\\c\tau &={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {asinh} {\frac {\alpha t}{c}},\quad ct={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle t}$は外部慣性座標系における座標時間であり、${\displaystyle \tau }$瞬間座標系における固有時間と瞬間速度は次のように与えられる。

${\displaystyle v={\frac {\alpha t}{\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}}=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$

このパラドックスの数学的処理は、ボーンの剛体運動の処理と似ています。ただし、慣性系で同じ加速度を持つ宇宙船の分離について問うのではなく、ボーンの剛体運動の問題は、「宇宙船間の距離がそれぞれの固有座標系で一定に保たれるように、2番目の宇宙船にはどのような加速度プロファイルが必要か？」と問うています。 ^{[ 35 ] [ 34 ] [ 36 ]}慣性系で最初に静止している2つの宇宙船が一定の固有距離を維持するためには、先行する宇宙船の固有加速度が低くなければなりません。^{[ 3 ] [ 36 ] [ 37 ]}

このボルン剛体フレームは、リンドラー座標（コットラー・モラー座標）^{[ 34 ] [ 38 ]}を使用して記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\sinh {\frac {\alpha t'}{c}},&y&=y',\\x&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}-{\frac {c^{2}}{\alpha }},&z&=z'.\end{aligned}}\ (t'=\tau )}$

ボルン剛性の条件では、宇宙船の適切な加速度が^{[ 38 ]だけ異なる必要がある。}

${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\alpha _{1}}{1+{\frac {\alpha _{1}L'}{c^{2}}}}}}$

そして長さ${\displaystyle L'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$観測者の1人によってリンドラーフレーム（または瞬間慣性フレーム）で測定された値は、ローレンツ縮約されて${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$外部慣性座標系では^{[ 38 ]}

${\displaystyle L={\frac {L'}{\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}}}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

これは上記と同じ結果です。したがって、ボルンの剛性の場合、瞬間座標系での長さL'の一定性は、外部座標系でのLが常に減少することを意味し、糸は切れません。しかし、ベルの宇宙船のパラドックスの場合、外部座標系での長さLの一定性は、瞬間座標系でのL'の増加を意味し、糸が切れるため、ボルンの剛性の条件は破られます（さらに、瞬間座標系では、同じ固有加速度を持つ2人の観測者間の距離の増加の式もより複雑になります^{[ 17 ]}）。

• 双曲線運動（相対性理論）
• 物理的パラドックス
• リンドラー座標
• サプリーのパラドックス
• 双子のパラドックス

• Michael Weiss; Don Koks (1995–2017): Bell's Spaceship Paradox, USENET Relativity FAQ
• Mathieu Rouaud (2022): Einstein’s Elevator: World Lines, Michelson–Morley Experiment and Relativistic Paradox. Another relativistic paradox in an accelerated reference frame with three rockets: a particle of matter seems to go faster than light.