用語集

用語集

1879年初版の表紙
著者	ゴットロープ・フレーゲ
言語	英語
ジャンル	論理
出版社	ルブレヒト＆クラマー
発行日	1879
ページ	124
番号	978-3487-0062-39
OCLC	851287

『Begriffsschrift』 （ドイツ語で大まかに言えば「概念記述」）は、1879年に出版されたゴットロープ・フレーゲによる論理学の本、およびその本で説明されている 形式体系です。

Begriffsschriftは通常、概念記述法または概念表記法と翻訳されます。本の完全なタイトルは、それを「算術をモデルにした、純粋思考のための公式 言語」としています。フレーゲが論理に対する形式的なアプローチを開発する動機は、ライプニッツの微積分推論器の動機に似ていました（ただし、序文でフレーゲはこの目的を達成したことを明確に否定し、また、彼の主な目的はライプニッツのような理想的な言語を構築することであり、それは非常に困難で理想主義的であるが不可能ではないと述べている）。フレーゲは、その後四半世紀にわたって行われた数学の基礎に関する研究で論理的微積分を採用しました。これは分析哲学における最初の著作であり、この分野は後にバートランド・ラッセルなどのイギリスおよびアングロ哲学者によってさらに発展しました。

この微積分学は量化変数の初登場であり、本質的には古典的な二価二階論理で恒等性を持つ。二価であるのは文や式が真か偽かを示すからであり、二階であるのは対象変数に加えて関係変数を含み、その両方に対して量化が可能であるからである。修飾語「恒等性を持つ」は言語に恒等関係 = が含まれることを指定する。フレーゲはこの本が数学に応用されるライプニッツの概念である普遍特性の彼なりのバージョンであると述べた。^[1]

フレーゲは、独特の2次元表記法を使って計算法を提示した。接続詞や量指定子は、今日使われている記号¬、∧、および∀ではなく、式を繋ぐ線を使って書かれた。例えば、判断Bは判断Aを実質的に含意する、つまり次のように書かれる。${\displaystyle B\rightarrow A}$。

第 1 章では、フレーゲは命題 (「判断」)、全称量指定子(「一般性」)、条件文、否定、および「内容の同一性を表す記号」 (物質的等価性と本質的な同一性の両方を示すために使用) などの基本的な概念と表記法を定義し、第 2 章では、9 つ​​の形式化された命題を公理として宣言します。 ${\displaystyle \equiv}$

第1章§5で、フレーゲは条件文を次のように定義しています。

「AとBが判断可能な内容を指すとすると、4つの可能性は次のようになります。

1. A が主張され、B が主張されます。
2. A は主張され、B は否定されます。
3. A は否定され、B は肯定されます。
4. A は否定され、B も否定されます。

させて

3番目の可能性は成立しないが、他の3つの可能性のうち1つは成立することを意味します。したがって、つまり、3 番目の可能性が有効であり、つまり A を否定し、B を主張します。"

フレーゲは、彼の命題のうち 9 つを公理であると宣言し、それらの意図された意味を前提とすれば、それらは自明の真理を表現していると非公式に論じて正当化した。これらの公理を現代の表記法で再表現すると、次のようになる。

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \\ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f\left(c\right)=f\left(d\right)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

これらは、 Begriffschrifftの命題 1、2、8、28、31、41、52、54、58 です。(1) ～ (3) は質料含意、(4) ～ (6) は否定、(7) と (8) は同一性、(9)全称量化子を規定しています。(7) はライプニッツの同一物の識別不可能性を表現し、(8) は同一性が反射的な関係であることを主張しています。

他のすべての命題は、以下の推論規則のいずれかを適用して（1）～（9）から演繹される。

• モーダス・ポネンスにより、およびから推論することができます。${\displaystyle \vdash B}$${\displaystyle \vdash A\to B}$${\displaystyle \vdash A}$
• 一般化の規則により、x がPに出現しない場合はから推論できます。${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• 置換の規則。これはフレーゲが明示的に述べていない規則です。この規則は、前の 2 つの規則よりも正確に表現するのがはるかに難しく、フレーゲは明らかに正当ではない方法でこの規則を適用しています。

「一般級数理論からの部分」と題された第 3 章の主な結果は、現在では関係Rの祖先と呼ばれているものに関するものです。「aはbのR祖先である」は「 aR * b」 と書きます。

フレーゲは、関係の祖先に関するものも含め、 Begriffsschrifftの結果を後の著作『算術の基礎』に適用した。したがって、 xRy を関係y = x + 1 とすると、 0 R * y は述語「y は自然数である」となる。(133) は、x、y、zが自然数であれば、 x < y、x = y、またはy < xのいずれかが成立する必要があることを述べている。これはいわゆる「三分法の法則」である。

ドイツの数学文献でBegriffsschriftがどのようにレビューされたかについての最近の詳細な研究については、Vilko (1998) を参照してください。一部のレビューア、特にErnst Schröder は、全体的に好意的でした。Begriffsschrift の後の形式論理のすべての研究は、この論文に負っています。なぜなら、その第 2 階論理は、かなりの量の数学と自然言語を表現できる最初の形式論理だったからです。

フレーゲの記法の名残は、彼の「判断/推論ストローク」 │ と「内容ストローク」 ─から派生した「回転式記号」の中に残っています。フレーゲは、命題が真であると宣言するために、これらの記号を「定義書」の中で統一された形式 ├─ で使用しました。彼は後の「基本法」で、├─ 記号の解釈を少し修正しています。 ${\displaystyle \vdash}$

「Begriffsschrift」では、「Definitionsdoppelstrich」（定義の二重線）│├─は、命題が定義であることを示します。さらに、否定記号は、 水平のInhaltsstrichと垂直の否定線の組み合わせとして読むことができます。この否定記号は、直観主義的否定と古典的否定を区別するために、1930年にArend Heyting ^[2]によって再導入されました 。Gerhard Gentzenの博士論文にも登場します。 ${\displaystyle \neg}$

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは『論理哲学論考』の中で、論理形式主義の同義語として 「Begriffsschrift」という用語を用いてフレーゲに敬意を表した。

フレーゲの 1892 年の論文「意味と指示について」では、同一性 (数学では「=」記号で表されます) に関するBegriffsschriftの結論の一部を撤回しています。特に、彼は同一性述語が名前間の関係を表すという「Begriffsschrift」の見解を否定し、同一性述語はそれらの名前で表されたオブジェクト間の関係を表すという結論を支持しています。

• ゴットロブ・フレーゲ。Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens。ハレ・アン・デア・ザーレ：ルイ・ネベールの芸術祭、1879年。

翻訳:

• Bynum, Terrell Ward、翻訳・編集、1972年。概念表記法と関連記事、略歴と序文付き。オックスフォード大学出版局。
• Bauer-Mengelberg、Stefan、1967 年、 Jean van Heijenoort編の「Concept Script」 、 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic、1879 ～ 1931 年。ハーバード大学出版局。
• ビーニー、マイケル、1997、「Begriffsschrift: Selections (Preface and Part I)」、The Frege Reader。オックスフォード、ブラックウェル。

• 祖先関係
• 同値ステートメントの計算
• 一階論理
• 事前分析
• 思考の法則
• プリンキピア・マセマティカ

ウィキメディア・コモンズには、ベグリフシュリフトに関連するメディアがあります。

• ザルタ、エドワード N.「フレーゲの論理、定理、算術の基礎」。ザルタ、エドワード N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。
• Begriffsschrift をファクシミリとしてダウンロード (2.5 MB)
• 難解なプログラミング言語：「Gottlob: Frege の概念表記法でコードを書く」。esoteric.codes 。2020年 3 月 27 日。2022年 6 月 19 日に取得。