ブロックデザイン

組合せ 数学において、ブロック設計とは、ブロックと呼ばれるサブセットの族とともに集合から構成される発生構造であり、要素の頻度^{[説明が必要]が特定の条件を満たし、ブロックの集合が}対称性（バランス）を示すように選択される。ブロック設計は、実験計画、有限幾何学、物理化学、ソフトウェアテスト、暗号化、代数幾何学など、多くの分野で応用されている。

ブロックデザインという用語は、特に指定がなければ、通常、バランス型不完全ブロックデザイン（BIBD）、具体的には（同義語としても）2デザインを指し、これは実験デザインへの応用により、歴史的に最も熱心に研究されてきたタイプです。^{[1] [2]その一般化は}tデザインとして知られています。

元のセットのすべてのt個のサブセットが、同じ数 (つまり、 λ ) のブロックに出現する場合、そのデザインはバランスが取れている ( tまで)と言われています^{[説明が必要]}。tが指定されていない場合は、通常 2 であると想定できます。これは、各要素のペアが同じ数のブロックに存在し、デザインがペアワイズバランスであることを意味します。 t =1の場合、各要素は同じ数のブロック (複製数、rで示される) に出現し、デザインは正則であると言われています。すべてのブロックのサイズが同じ (通常kで示される) ブロックデザインは、均一または適切 と呼ばれます。この記事で説明するデザインはすべて均一です。必ずしも均一ではないブロックデザインも研究されており、t =2 の場合、それらは文献では一般名ペアワイズバランスデザイン(PBD)で知られています。tまでバランスの取れた均一な計画は、tのより低い値でもすべてバランスが取れています(ただし、λ値は異なります)。そのため、たとえば、ペアワイズバランス ( t =2) 計画は正規 ( t =1) でもあります。バランス要件が満たされない場合、t サブセットを n クラスに分割し、それぞれに独自の (異なる) λ 値を持たせることができれば、計画は部分的にバランスが取れている可能性があります。t = 2の場合、これらはPBIBD ( n )計画と呼ばれ、そのクラスは関連スキームを形成します。

設計は通常、不完全であると言われます (または想定されます) 。つまり、ブロックのコレクションがすべての可能なkサブセットではないため、単純な設計は除外されます。

ブロック設計では、ブロックが繰り返される場合と、繰り返されない場合があります。ブロックが繰り返されない設計は単純設計と呼ばれ、^[3]この場合、ブロックの「ファミリー」は多重集合ではなく集合です。

統計学では、ブロック設計の概念は、ブロックに要素の複数のコピーが含まれる可能性がある非バイナリブロック設計に拡張される場合があります ( 「ブロッキング (統計) 」を参照)。そこでは、各要素が同じ合計回数出現する設計は等反復と呼ばれ、設計もバイナリである場合にのみ正規設計を意味します。非バイナリ設計の発生行列には、各ブロックで各要素が繰り返される回数がリストされます。

最も単純なタイプの「バランスのとれた」設計 ( t =1)は、戦術的構成または1 設計として知られています。幾何学における対応する発生構造は、単に構成として知られています。構成 (幾何学)を参照してください。このような設計は均一で規則的です。つまり、各ブロックにはk個の要素が含まれ、各要素はr個のブロックに含まれています。セット要素の数vとブロックの数bは、要素の発生総数である によって関連付けられています。${\displaystyle bk=vr}$

行と列の合計が一定であるすべてのバイナリ行列は、正規の一様ブロック設計の接続行列です。また、各構成には、接続グラフまたはレヴィグラフと呼ばれる対応する双正則 二部 グラフがあります。

有限集合X (点と呼ばれる要素) と整数k、r、λ ≥ 1 が与えられたとき、2 設計(またはBIBD、バランス型不完全ブロック設計の略) B を、ブロックと呼ばれるk要素のサブセットXの族として定義します。この場合、Xの任意のx はr 個のブロックに含まれ、 Xの異なる点xとyの任意のペアはλ 個のブロックに含まれます。ここで、以下に示すように、 Xの任意のx がr個のブロックに含まれるという条件は冗長です。

ここで、v ( Xの要素の数、点と呼ばれる)、b (ブロックの数)、k、r、および λ は、設計のパラメータです。(退化した例を避けるために、 v > kであることも想定され、どのブロックにもセットのすべての要素は含まれません。これが、これらの設計の名前の「不完全」の意味です。) 表では、次のようになります。

このデザインは ( v , k , λ ) デザインまたは ( v , b , r , k , λ ) デザインと呼ばれます。パラメータはすべて独立しているわけではありません。v、k 、および λ はbとr を決定し、 v、k、およびλのすべての組み合わせが可能であるわけではありません。これらのパラメータを結び付ける 2 つの基本方程式は次のとおりです。

${\displaystyle bk=vr,}$

ブロックBとブロック内の点 pのペア ( B , p )の数を数えることによって得られ、

${\displaystyle \lambda (v-1)=r(k-1),}$

固定されたxについて、 3 つの要素 ( x、y、B ) を数えることで得られます。ここで、xとy は異なる点であり、B は両方を含むブロックです。この方程式は、すべてのxについて、 rが定数 ( xに依存しない ) であることを明示的に仮定しなくても証明します。したがって、 Xの任意のx がrブロックに含まれるという条件は冗長であり、r は他のパラメーターから計算できることを証明します。

結果として得られるbとrは整数でなければならないため、v、k、λに条件が課せられる。これらの条件は十分ではなく、例えば(43,7,1)-設計は存在しない。^[4]

2-デザインの順序はn = r  −  λと定義されます。2-デザインの補集合は、点集合X内の各ブロックをその補集合に置き換えることによって得られます。これも 2-デザインであり、パラメーターはv ′ = v、b ′ = b、r ′ = b  −  r、k ′ = v  −  k、λ ′ = λ  +  b  − 2 rです。2-デザインとその補集合の順序は同じです。

統計学者ロナルド・フィッシャーにちなんで名付けられた基本定理であるフィッシャーの不等式は、任意の 2 設計において b  ≥  v が成立するというものです。

これらのデザインに対するかなり意外で、あまり明白ではない（しかし非常に一般的な）組み合わせの結果は、点が任意に選択された等間隔または不等間隔の数字のセットによって表される場合、すべてのブロック合計（つまり、特定のブロック内のすべての点の合計）を一定にできるようなセットは選択できないということです。^{[5] [6]}ただし、部分的にバランスのとれた不完全ブロックデザインなどの他のデザインでは、これが可能である可能性があります。このようなケースの多くはで説明されています。^[7]ただし、部分的にバランスのとれた不完全ブロックデザインと見なすことができる魔方陣または魔方形長方形についても、これは自明に観察できます。

ユニークな(6,3,2)デザイン( v = 6、k = 3、λ = 2)には10個のブロック( b = 10)があり、各要素は5回繰り返されます( r = 5)。^[8] 0〜5のシンボルを使用すると、ブロックは次の3つ組になります。

012 013 024 035 045 125 134 145 234 235。

対応する接続​​行列（行の合計rが一定で列の合計kが一定であるv × bの バイナリ行列）は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1&0&0&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&0&0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\\end{pmatrix}}}$

4つの非同型(8,4,3)デザインのうちの1つは、各要素が7回繰り返される14個のブロックを持つ。0〜7のシンボルを使用すると、ブロックは次の4組になる。^[8]

0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456。

ユニークな(7,3,1)デザインは対称的で、7つのブロックがあり、各要素は3回繰り返されます。0〜6のシンボルを使用すると、ブロックは次の3つ組になります。^[8]

013 026 045 124 156 235 346。

このデザインはファノ平面に関連付けられており、デザインの要素とブロックは平面の点と線に対応しています。ラベルまたはブロックが正しい方法で並べ替えられている場合、対応する接続​​行列も対称になります。

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&0&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0&1&0\end{matrix}}\right)}$

フィッシャーの不等式が等しい場合、つまり点とブロックの数が等しい2デザインは対称デザインと呼ばれます。^[9]対称デザインは、点の数が同じ2デザインの中でブロックの数が最も少ないデザインです。

対称設計ではr = kおよびb = vが成り立ち、任意の 2 設計では一般には当てはまりませんが、対称設計ではすべての 2 つの異なるブロックがλ点で出会います。^[10] Ryserの定理は逆を提供します。Xがv要素セットで、Bがk要素サブセット (「ブロック」)のv要素セットで、2 つの異なるブロックが正確に λ 個の点を共有する場合、( X、B ) は対称ブロック設計です。^[11]

対称設計のパラメータは

${\displaystyle \lambda (v-1)=k(k-1).}$

これにより、 vに強い制約が課せられるため、点の数は恣意的なものからほど遠いものになります。Bruck -Ryser-Chowla の定理は、これらのパラメータに関して対称設計が存在するための必要条件を示しますが、十分条件ではありません。

対称的な 2 デザインの重要な例を以下に示します。

有限射影平面は、 λ = 1 かつ次数n > 1の対称 2 設計です。これらの設計の場合、対称設計方程式は次のようになります。

${\displaystyle v-1=k(k-1).}$

k = rなので、射影平面の位数はn = k − 1と書くことができ 、上記の式から、位数nの射影平面上の点v = ( n  + 1) n  + 1 = n ²  +  n  + 1 が得られます。

射影平面は対称的な設計なので、b = vとなり、b = n ²  +  n  + 1 でもあります。bという数は射影平面の線の数です。 λ = 1 なので線が重複することはなく、射影平面は線の数と点の数が常に同じである単純な 2 設計です。 射影平面の場合、k は各線上の点の数で、n  + 1 に等しくなります。 同様に、r = n  + 1 は、特定の点が接する線の数です。

n = 2の場合、 v = 4 + 2 + 1 = 7 個の点と 7 本の直線を持つ、ファノ平面とも呼ばれる 2 次射影平面が得られます。ファノ平面では、各直線にはn + 1 = 3 個の点があり、各点はn + 1 = 3 本の直線 に属します 。

射影平面は素数または素数の累乗であるすべての順序で存在することが知られている。射影平面は対称ブロック設計の唯一の既知の無限族（定数λ値を持つ点に関して）を形成する。^[12]

複平面幾何学は、 λ = 2の対称 2 次元設計です。つまり、2 点のすべてのセットは 2 つのブロック (「線」) に含まれ、任意の 2 本の線は 2 点で交差します。^[12]有限射影平面に似ていますが、2 つの点が 1 本の線を決定 (および 2 本の線が 1 点を決定) するのではなく、2 つの点が 2 本の線 (それぞれ点) を決定します。次数nの複平面は、ブロックにk  =  n + 2 個の点がある平面です。つまり、 v  = 1 + ( n  + 2)( n  + 1)/2 個の点 があります( r  =  kであるため)。

以下に、 18の既知の例^[13]を挙げる。

• (自明) 次数 0 の複葉機には 2 つの点 (および長さ 2 の線、2-(2,2,2) 設計) があります。これは 2 つの点と、それぞれの点から構成される 2 つのブロックです。幾何学的には、これは二角形です。
• オーダー 1 の複葉機には 4 つの点 (およびサイズ 3 の線、2-(4,3,2) 設計) があり、v = 4 およびk = 3 の完全な設計です。幾何学的には、点は四面体の頂点であり、ブロックは面です。
• 2次の複平面はファノ平面の補平面であり、7つの点（および4本の線分、2-(7,4,2)）を持ち、これらの線分はファノ平面の（3点）線の補平面として与えられます。^[14]
• 3次複葉機は11個の点（および線のサイズは5、2-(11,5,2)）を持ち、レイモンド・ペイリーにちなんで名付けられたペイリー複葉機。これはペイリー有向グラフており、サイズ 12 のアダマール行列に関連付けられたアダマール 2 設計です。ペイリー構築 I を。

代数的には、これは射影特殊線型群 PSL (2,5)のPSL (2,11)への例外的な埋め込みに対応する。詳細については射影線型群：p点への作用を参照のこと。 ^[15]

• 次数 4 の複葉機が 3 つあります (点が 16 個、線のサイズが 6 個、つまり 2-(16,6,2))。1 つはKummer 構成です。これら 3 つの設計は、Menon 設計でもあります。
• 7次の複葉線が4本ある（点が37個、線のサイズが9、2-(37,9,2)）。^[16]
• 9次の複葉機が5つある（点が56個、線のサイズが11である。2-(56,11,2)）。^[17]
• 11次の複葉機が2機知られている（点が79個、線のサイズが13、つまり2-(79,13,2)）。^[18]

ブルック・ライザー・チョウラ定理によって示されるように、5、6、8、10次の複葉機は存在しません。

サイズmのアダマール行列は、要素が ±1 であるm × m行列Hであり、 HH ^⊤  = m I _mです。ここで、H ^⊤はHの転置行列、I _{m は}m  ×  m単位行列です。アダマール行列は、最初の行と最初の列の要素がすべて +1 である標準化された形式(つまり、同等のアダマール行列に変換)にすることができます。サイズm  > 2の場合、 m は4 の倍数でなければなりません。

標準化された形式でサイズ 4 aの Hadamard 行列が与えられた場合、最初の行と最初の列を削除し、すべての -1 を 0 に変換します。結果として得られる 0–1 行列Mは、Hadamard 2-設計と呼ばれる対称 2-(4 a  − 1, 2 a  − 1, a  − 1) 設計の接続行列です。^[19]ブロック/ポイント が含まれ、それぞれがポイント/ブロックに含まれます。各ポイントのペアは、正確にブロックに含まれています。 ${\displaystyle 4a-1}$${\displaystyle 2a-1}$${\displaystyle a-1}$

この構成は可逆的であり、これらのパラメータを持つ対称 2 設計の接続行列を使用して、サイズ 4 aのアダマール行列を形成できます。

解決可能な 2 設計は、ブロックをセット (並列クラスと呼ばれる) に分割できる BIBD であり、各セットは BIBD の点セットのパーティションを形成します。並列クラスのセットは、設計の 解決と呼ばれます。

2-( v , k ,λ)解決可能なデザインにc個の並列クラスがある場合、b  ≥  v  +  c  − 1となる。 ^[20]

その結果、対称的な設計では、非自明な（複数の並列クラス）解決を行うことはできません。^[21]

典型的な解決可能な2-デザインは有限アフィン平面である。有名な15人の女子高生問題の解決策は2-(15,3,1)デザインの解決である。^[22]

任意の正の整数tが与えられると、t設計B はブロックと呼ばれるXのk要素サブセットのクラスとなり、Xのすべての点x はちょうどr 個のブロックに現れ、すべてのt要素サブセットT はちょうど λ 個のブロックに現れます。数値v ( Xの要素数)、b (ブロック数)、k、r、 λ 、およびt は設計のパラメータです。この設計はt -( v、k 、 λ ) 設計と呼ばれることがあります。ここでも、これら 4 つの数値によってbとr が決定され、4 つの数値自体は任意に選択することはできません。方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {v-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,}$

ここで、λ _{i は}任意のi要素の点集合を含むブロックの数であり、 λ _t = λ です。

および に注意してください。 ${\displaystyle b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}}$${\displaystyle r=\lambda _{1}=\lambda {v-1 \choose t-1}/{k-1 \choose t-1}}$

定理：^[23]任意のt- ( v , k ,λ)-設計は、1≤s≤tを満たす任意のsに対してs-(v,k,λs)-設計でもある。（  「 ラムダ 値」は上記のように_変化し、 sに依存することに注意。）

この定理の帰結として、t ≥ 2 であるすべてのtデザインは2 デザインでもあることになります。

t- ( v , k ,1)-設計はシュタイナーシステムと呼ばれます。

ブロック デザインという用語自体は、通常 2 つのデザインを意味します。

D = ( X , B ) を t-( v , k , λ ) 設計、p をXの点とします。導出された設計 D _{p は}点集合X  − { p } と、 p を除いた p を含むDのすべてのブロックをブロック集合として持ちます。これは ( t  − 1)-( v  − 1, k  − 1, λ ) 設計です。異なる点に関する導出された設計は同型でない場合があることに注意してください。設計Eが点 p を持ち、E _{p が}Dと同型である場合、設計E はDの拡張と呼ばれます。D に拡張がある場合、 D は拡張可能と呼ばれます。

定理: ^[24] t- ( v , k , λ )設計に拡張がある場合 、 k  +1はb ( v  +1)を割り切る。

拡張可能な射影平面（対称2-( n2  +  n  +1, n  +1,1)設計）は、次数2と4の平面のみである。^{[ 25]}

すべてのアダマール2-デザインは拡張可能である（アダマール3-デザインに拡張可能）。^[26]

定理: ^[27]対称2-( v , k ,λ)設計Dが拡張可能 な場合、次のいずれかが成立する。

1. Dはアダマール2デザインであり、
2. v  = (λ + 2)(λ ²  + 4λ + 2)、k  = λ ²  + 3λ + 1、
3. v  = 495、k  = 39、λ = 3。

2次の射影平面はアダマール2設計であることに注意する。4次の射影平面はケース2に該当するパラメータを持つ。ケース2に該当するパラメータを持つ他の既知の対称2設計は9次の複平面のみであるが、いずれも拡張可能ではない。ケース3のパラメータを持つ対称2設計は知られていない。^[28]

アフィン平面の拡張のパラメータを持つ設計、つまり 3-( n ²  + 1, n + 1, 1) 設計は、次数 nの 有限反転平面またはメビウス平面と呼ばれます。

いくつかの反転平面、実際はすべての既知の反転平面の幾何学的記述を与えることが可能です。PG ( 3, q ) の卵形はq ² + 1 点の集合であり 、3 点が同一線上にあることはありません。PG(3, q ) のすべての平面 (幾何学的次元が 3 なので超平面) は、1 点またはq + 1 点のいずれかで卵形Oと交わることが示されます。Oのサイズq  + 1 の平面セクションは、順序qの反転平面のブロックです 。このようにして生じる反転平面はどれも卵形と呼ばれます。既知の反転平面はすべて卵形です。

卵形の例としては、楕円二次曲面、すなわち二次形式における零点の集合が 挙げられる。

x ₁ x ₂ + f ( x ₃ , x ₄ )、

ここで、fはGF(q)上の2変数の^既約な二次形式です。[例えば、 ^f ( x , y ) = x2 + xy + y2 ]。

q が2 の奇数乗の場合、別のタイプの卵形、つまり鈴木・ティッツ卵形が知られています。

定理。qを少なくとも 2 以上の正の整数とします。(a) qが奇数の場合、任意の卵形は射影幾何学 PG(3, q )の楕円二次曲面に射影的に同値です。したがって、 q は素数冪であり、 qの位数の卵形反転平面が 1 つだけ存在します。(ただし、卵形以外の反転平面が存在するかどうかは不明です。) (b) qが偶数の場合、qは 2 の冪であり、 q の位数の任意の反転平面は卵形です (ただし、未知の卵形平面が存在する可能性があります)。

nクラスの関連付けスキームは、サイズvの集合 Xと、X × Xのn + 1 個のバイナリ関係R ₀、 R ₁、 ...、 R _nへの分割Sで構成されます。関係 R _iの要素のペアは、i番目の関連付けと呼ばれます。X の各要素には、n _i番目の関連付けがあります。さらに、  

• ${\displaystyle R_{0}=\{(x,x):x\in X\}}$これは恒等関係と呼ばれます。
• を定義すると、RがSに属する場合、R*がSに属する${\displaystyle R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$
• の場合、 およびとなるの数はi、j、kに依存する定数ですが、 xおよびyの特定の選択には依存しません。${\displaystyle (x,y)\in R_{k}}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle (x,z)\in R_{i}}$${\displaystyle (z,y)\in R_{j}}$${\displaystyle p_{ij}^{k}}$

すべてのi、j、kに対して、関連付けスキームは可換です。ほとんどの著者はこのプロパティを前提としています。 ${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$

n 個の関連クラスを持つ部分的にバランスのとれた不完全ブロック設計(PBIBD( n )) は、サイズがkのb個のブロックを持ち、各要素がr 個のブロックに出現するv集合 Xに基づくブロック設計です。これにより、 X上に定義されたn 個のクラスを持つ関連スキームが存在します。ここで、要素xとyがi番目の関連である場合 (1 ≤ i ≤ n)、それらは正確に λ _{i 個}のブロックに一緒に存在します。

PBIBD( n )は関連スキームを決定するが、その逆は偽である。^[29]

A (3)を、集合X = {1,2,3,4,5,6}上の3つの関連クラスを持つ次の関連スキームとします。要素iとjが関係R _sにある場合、( i , j )エントリはsです。

A (3) に基づくPBIBD(3)のブロックは次の通りである。

このPBIBD(3)のパラメータはv  = 6、b  = 8、k  = 3、r  = 4、λ ₁  = λ ₂  = 2、λ ₃  = 1である。また、関連付けスキームではn ₀  =  n ₂  = 1、n ₁  =  n ₃  = 2である。 ^[30]接続行列Mは

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}}$

そして、同時実行行列MM ^Tは

${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&2&2&2&1&1\\2&4&2&1&2&1\\2&2&4&1&1&2\\2&1&1&4&2&2\\1&2&1&2&4&2\\1&1&2&2&2&4\\\end{pmatrix}}}$

そこからλ値とr値を回復することができます。

PBIBD( m )のパラメータは次式を満たす: ^[31]

1. ${\displaystyle vr=bk}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)}$
4. ${\displaystyle \sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}}$
5. ${\displaystyle n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}}$

PBIBD(1)はBIBDであり、λ1=λ2となるPBIBD(2)は_BIBD  で_ある。^[32]

PBIBD(2)はPBIBDの中で最も単純で有用なため、最も研究されてきた。^[33]当時知られていたPBIBD(2)の分類に基づくと、PBIBD(2)は6つのタイプに分類される^{[34] 。 [35]}

1. 分割可能なグループ。
2. 三角;
3. ラテン方陣タイプ。
4. 周期的な;
5. 部分的なジオメトリタイプ。
6. その他。

ブロック デザインの数学的主題は、実験計画法の統計的枠組みに由来しています。これらのデザインは、分散分析 (ANOVA)の手法の応用において特に有用でした。これは、ブロック デザインの使用において重要な分野であり続けています。

この主題の起源は（既存の用語の一部と同様に）生物学への応用に基づいていますが、その設計は、ソフトウェア テストなど、体系的な比較が行われる多くのアプリケーションで使用されています。

ブロック設計の接続行列は、誤り訂正符号として使用される興味深いブロックコードの自然なソースを提供します。接続行列の行は、パルス位置変調の形式でシンボルとしても使用されます。^[36]

皮膚がんの研究者が 3 種類の日焼け止めをテストするとします。被験者の手の甲に 2 種類の日焼け止めを塗ります。紫外線照射後、日焼けによる皮膚の炎症を記録します。処理回数は 3 回 (日焼け止め)、ブロック サイズは 2 回 (1 人あたりの手) です。

対応する BIBD は、R パッケージ agricolae の R関数design.bibによって生成でき、次の表に指定されています。

研究者はブロック設計のパラメータv = 3、k = 2、λ = 1を選択し、これを R 関数に挿入します。その後、残りのパラメータbとr が自動的に決定されます。

基本的な関係式を用いて、バランスの取れた不完全ブロック設計を得るためには、 b = 3ブロック、つまり 3 人の被験者が必要であると計算します。混乱を避けるために、ブロックにA、B、C というラベルを付けると、ブロック設計は次のようになります。

A = {2, 3 }、    B = {1, 3 }、 C = {1, 2 }。

対応する接続​​行列は次の表に指定されています。

各処理は 2 つのブロックで行われるため、r = 2となります。

1つのブロック（C）にのみ処理1と2が同時に含まれており、同じことが処理のペア（1,3）と（2,3）にも当てはまります。したがって、λ = 1です。

この例では、テストする日焼け止めが 3 種類あるのに、各人の手は 2 つしかないため、完全な設計 (各ブロックにすべての処理) を使用することはできません。

• 入射ジオメトリ
• シュタイナーシステム

• Aschbacher, Michael (1971). 「対称ブロック設計の共線群について」.組合せ理論ジャーナル. シリーズA. 11 (3): 272–281. doi : 10.1016/0097-3165(71)90054-9 .
• Assmus, EF; Key, JD (1992)、デザインとそのコード、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-41361-3
• ベス、トーマス、ユングニッケル、ディーター、レンツ、ハンフリード（1986）、デザイン理論、ケンブリッジ大学出版局。第2版(1999) ISBN 978-0-521-44432-3。 
• ボーズ、RC（1949）、「バランスのとれた不完全ブロック設計におけるフィッシャーの不等式に関する注記」、Annals of Mathematical Statistics、20（4）：619–620、doi：10.1214/aoms/1177729958
• Bose, R. C. ; Shimamoto, T. (1952)、「2 つの関連クラスを持つ部分的にバランスのとれた不完全ブロック設計の分類と分析」、Journal of the American Statistical Association、47 (258): 151–184、doi :10.1080/01621459.1952.10501161
• キャメロン、PJ; ヴァン・リント、JH (1991)、「デザイン、グラフ、コードとそのリンク」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42385-6
• コルボーン、チャールズ J.、ディニッツ、ジェフリー H. (2007)、コンビナトリアル デザイン ハンドブック(第 2 版)、ボカラトン: チャップマン & ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-506-1
• フィッシャー、RA（1940）、「不完全ブロックの問題のさまざまな可能な解決策の検討」、優生学年報、10：52〜75、doi：10.1111/j.1469-1809.1940.tb02237.x、hdl：2440/15239
• ホール、マーシャル・ジュニア（1986）、組合せ理論（第2版）、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-09138-3
• ヒューズ、DR; パイパー、EC (1985)、デザイン理論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-25754-9
• Kaski, Petteri; Östergård, Patric (2008). 「 k = 11の複葉機は 5 機だけ存在する」。Journal of Combinatorial Designs . 16 (2): 117–127. doi :10.1002/jcd.20145. MR  2384014. S2CID  120721016.
• ランダー、ES（1983）、対称デザイン：代数的アプローチ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-28693-0
• リンドナー、CC; ロジャー、CA (1997)、デザイン理論、ボカラトン：CRCプレス、ISBN 0-8493-3986-3
• ラガヴァラオ、ダマラジュ（1988）。実験計画における構成と組み合わせ問題。ドーバー。ISBN 978-0-486-65685-4。
• Raghavarao, Damaraju ; Padgett, LV (2005 年 10 月 11 日)。ブロック設計: 分析、組み合わせ論、およびアプリケーション。World Scientific。ISBN 978-981-4480-23-9。
• ライザー、ハーバート・ジョン (1963)、「8. 組合せ設計」、組合せ数学、カーラス数学モノグラフ、第 14 巻、アメリカ数学協会、pp. 96–130、ISBN 978-1-61444-014-7
• Salwach, Chester J.; Mezzaroba, Joseph A. (1978). 「k = 9の4つの複葉機」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 24 (2): 141–145. doi : 10.1016/0097-3165(78)90002-X .
• Khattree, Ravindra ( 2019 ). 「定数ブロック合計バランス不完全ブロック設計の非存在に関する注記」。統計における通信 - 理論と方法。48 (20): 5165–5168。doi :10.1080/ 03610926.2018.1508715。S2CID 125795689  。
• Khattree, Ravindra (2022). 「等複製定数ブロック和設計の構築について」.統計における通信 - 理論と方法. 51 (2): 4434–4450. doi :10.1080/03610926.2020.1814816. S2CID  225335042.
• シュリカンデ、SS ;バット・ナヤック、ヴァサンティ N. (1970)、「いくつかのバランスのとれた不完全ブロック設計の非同型解 I」、組み合わせ理論ジャーナル、9 (2): 174–191、doi : 10.1016/S0021-9800(70)80024-2
• スティンソン、ダグラス R. (2003)、コンビナトリアルデザイン：構築と分析、Springer、ISBN 0-387-95487-2
• ストリート、アン・ペンフォールド&ストリート、デボラ・J. (1987)。実験計画の組合せ論。オックスフォード大学出版局 [クラレンドン] 。ISBN 0-19-853256-3。
• van Lint, JH; Wilson, RM (1992).組合せ論講座. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-41057-1。

• DesignTheory.Org: 組み合わせ、統計、実験ブロック設計のデータベース。ロンドン大学クイーン・メアリー・カレッジの数理科学学部がホストするソフトウェアおよびその他のリソース。
• デザイン理論リソース: Peter Cameronによる Web ベースのデザイン理論リソースのページ。
• ワイスタイン、エリック・W.「ブロックデザイン」。マスワールド。