正則アダマール行列

数学において、正則アダマール行列は、行と列の合計がすべて等しいアダマール行列です。アダマール行列の次数は 1、2、または 4 の倍数でなければなりませんが、正則アダマール行列には、次数が平方数でなければならないというさらなる制約があります。次数n のアダマール 行列Hの超過分( E ( H )と表記) は、 Hの要素の合計として定義されます 。超過分は、境界 | E ( H  )| ≤  n ^3/2を満たします。アダマール行列がこの境界を満たすのは、それが正則である場合のみです。

n  = 4 u ²が正アダマール行列の次数である場合、超過は ±8 u ³で、行と列の合計はすべて ±2 uに等しくなります。したがって、各行には 2 u ²  ±  u 個の正のエントリと 2 u ²  ∓  u 個の負のエントリがあります。行の直交性は、任意の 2 つの異なる行に正確にu ²  ±  u 個の正のエントリが共通していることを意味します。Hをブロック設計の接続行列として解釈し、1 が接続を表し、-1 が非接続を表す場合、H はパラメーター (4 u ²、 2 u ²  ±  u、  u ²  ±  u ) を持つ対称 2-( v、k、λ ) 設計に対応します。これらのパラメーターを持つ設計はメノン設計と呼ばれます。

正則アダマール行列を構築する方法は数多く知られており、指定された対称群を持つ正則アダマール行列の徹底的なコンピュータ検索も行われてきましたが、すべての偶数平方が正則アダマール行列の位数であるかどうかはわかっていません。 ブッシュ型アダマール行列は特殊な形式の正則アダマール行列であり、有限射影平面に接続されています。

より一般的なアダマール行列と同様に、正則アダマール行列はジャック・アダマールにちなんで命名されています。メノン設計はP ケサヴァ・メノンにちなんで命名され、ブッシュ型アダマール行列はケネス・A・ブッシュにちなんで命名されています。

• CJ ColbournおよびJH Dinitz (編)、『CRC 組み合わせ設計ハンドブック』、第 2 版、CRC Press、フロリダ州ボカラトン、2006 年。
• WD Wallis、Anne Penfold Street、Jennifer Seberry Wallis、「組合せ論：部屋の正方形、和のない集合、アダマール行列」、Springer-Verlag、ベルリン、1972 年。