置き換えの公理スキーマ

集合論において、置換公理スキームは、ツェルメロ-フランケル集合論(ZF)における公理のスキームであり、任意の定義可能なマッピングによる任意の集合の像も集合であると主張する。これは、ZF における特定の無限集合の構築に必要である。

公理スキーマは、クラスがセットであるかどうかは、そのクラスの基数のみによって決まり、その要素のランクには左右されないという考えに基づいています。したがって、1 つのクラスがセットとして「十分小さい」場合、そのクラスから 2 番目のクラスへの全射が存在すると、公理では 2 番目のクラスもセットであると述べられます。ただし、ZFC はセットのみを対象とし、適切なクラスは対象としないため、スキーマは定義式で識別される定義可能な全射についてのみ規定されます。

が定義可能な二項関係（適切なクラス の場合もある）で、すべての集合 に対してが成り立つような一意の集合 が存在するとします。対応する定義可能な関数 が存在し、である場合に限ります。すべての集合 に対してが存在する場合に限り、 となるように定義された（適切な可能性のある）クラスを考えます。はにおけるの像と呼ばれ、または（集合構築記法を使用）と表記されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y\in B}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}[A]}$${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$

置換公理スキームは、が上記のように定義可能なクラス関数であり、 が任意のセットである場合、イメージもセットであると述べています。 これは小ささの原理として考えることができます。公理は、がセットになるほど小さい場合、もセットになるほど小さいと述べています。 これは、サイズ制限のより強い公理によって暗示されています。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F[A]}$

一階述語論理では定義可能な関数を量化することは不可能なので、の間で自由変数を持つ集合論の言語では、各式に対してスキーマのインスタンスが 1 つ含まれますが、 では自由ではありません。集合論の形式言語では、公理スキーマは次のようになります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

の意味については、一意性定量化を参照してください。 ${\displaystyle \exists !}$

わかりやすくするために、変数がない場合には、これは次のように簡略化されます。 ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

したがって、 が上の関数に類似した一意の-から - への対応を指定する場合、このようにして到達したすべてのものは、 に類似した集合 に収集できます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F[A]}$

置き換えの公理スキームは、通常の数学のほとんどの定理の証明には必要ありません。実際、ツェルメロ集合論(Z) はすでに、2 階算術と有限型の型理論の多くを解釈することができ、それによって数学の大部分を形式化するのに十分です。置き換えの公理スキームは、今日の集合論の標準的な公理ですが、型理論のシステムやトポス理論の基礎システムでは省略されることがよくあります。

いずれにせよ、公理スキーマは、証明できる定理（たとえば、存在が示される集合）の点でも、また Z と比較した証明論的一貫性の強さの点でも、ZF の強さを劇的に高めます。次に、いくつかの重要な例を示します。

• フォン・ノイマンによる現代の定義を用いると、ω より大きい極限順序数の存在を証明するには、置換公理が必要である。順序数ω·2 = ω + ω は、そのような順序数の最初のものである。無限公理は、無限集合 ω = {0, 1, 2, ...} の存在を主張する。ω·2 を数列 {ω, ω + 1, ω + 2,...} の和集合として定義したい場合もあるだろう。しかし、そのような順序数の任意のクラスは集合である必要はない。たとえば、すべての順序数のクラスは集合ではない。置換により、 ω 内の各有限数n を対応する ω + nに置換できるようになり、このクラスが集合であることが保証される。説明のために、置換に頼らずに ω·2 と同型の整列集合を簡単に構築できることに留意してください。つまり、ω の 2 つのコピーの互いに素な和集合を取り、2 番目のコピーが 1 番目のコピーより大きいというだけです。ただし、これは包含によって完全に順序付けられていないため、順序数ではありません。
• より大きな順序数は、置換に直接依存しなくなります。たとえば、最初の非可算順序数ω ₁は、次のように構築できます。可算な整列順序の集合は、分離とべき集合によってのサブセットとして存在します( A上の関係は のサブセットなので、べき集合の要素です。したがって、関係の集合は のサブセットです)。各整列集合をその順序数で置き換えます。これが可算順序数の集合 ω _{1であり、それ自体が非可算であることが示されます。構築では、置換を 2 回使用します。1 回は、整列集合ごとに順序数の割り当てを確実にするため、もう 1 回は、整列集合を順序数で置き換えるためです。これは、}ハートッグス数の結果の特殊なケースであり、一般的なケースも同様に証明できます。${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle P(A\times A)}$${\displaystyle P(A\times A)}$
• 上記を踏まえると、すべての整列した集合に順序数を割り当てるには、置換も必要です。同様に、各集合に基数を割り当てるフォン・ノイマン基数割り当てには、選択公理だけでなく、置換も必要です。
• として再帰的に定義され、 が大きい に対して組の集合の場合、集合のランクが高すぎるため、集合論から冪集合、選択、置換なしの公理のみを使用してその存在を証明できません。${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$
• 同様に、ハーヴェイ・フリードマンは、ボレルゲームが決定的であることを示すには、少なくともいくつかの置換例が必要であることを示した。証明された結果は、ドナルド・A・マーティンのボレルの決定性定理である。マーティンによるその後のより慎重な結果の分析は、任意の可算順序数を定義域とする関数に対してのみ置換が必要であることを示した。
• 置換付き ZF はZ の一貫性を証明します。これは、集合 V _ω·2がZF で存在が証明できる Z のモデルであるためです。基数は 、ZF に存在することが示され、Z には存在しない最初の数です。明確にするために、ゲーデルの第 2 不完全性定理は、これらの理論のそれぞれに、その理論が一貫している場合、その理論では証明できない、理論自身の一貫性を「表現する」文が含まれていることを示していることに注意してください。この結果は、一貫性がある場合、これらの理論のどちらも自身の一貫性を証明できないという主張として大まかに表現されることがよくあります。${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

置換公理スキーマにいくつかの簡略化を加えることで、異なる同等のバージョンを得ることができます。Azriel Lévy は、パラメータを削除した置換バージョン、つまり次のスキーマが元の形式と同等であることを示しました。特に、外延性、ペアリング、和集合、およびべき乗集合の公理がある場合に同等性が維持されます。^[1]

${\displaystyle \forall A\,([\forall x\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])}$

収集の公理スキーマは、置換の公理スキーマと密接に関連しており、しばしば混同されます。ZF公理の残りの部分では、これは置換の公理スキーマと同等です。収集の公理は、冪集合公理^[2]またはそのZFの構成的対応物がない場合には置換よりも強く、排中律がないIZFのフレームワークでは、より弱い置換の代わりに使用されます。 ^[3]

置換は関数の像が集合であると言っていると解釈できますが、コレクションは関係の像について述べており、関係の像のスーパークラスが集合であると言っているだけです。言い換えると、結果の集合には最小性要件がなく、つまりこの変形は に対する一意性要件も欠いています。つまり、 によって定義される関係は関数である必要はなく、いくつかは内の多くの に対応する可能性があります。この場合、存在が主張される像集合には、元の集合のそれぞれに対してそのような が少なくとも 1 つ含まれている必要がありますが、1 つだけ含まれているという保証はありません。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

の自由変数はの間にあるが、 も もでは自由ではないとします。この場合、公理スキーマは次のようになります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

公理スキーマは、述語 に対する事前の制約なし（内で自由に出現しないことを除いて）で記述されることがあります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

この場合、によって他のどの集合にも関連付けられていない内の要素が存在する可能性があります。ただし、前述の公理スキーマでは、の要素が少なくとも 1 つの集合 に関連付けられている場合、イメージ集合にはそのような が少なくとも 1 つ含まれることが必要です。結果として得られる公理スキーマは、有界性の公理スキーマとも呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$

ZFCのもう一つの公理スキーマである分離の公理スキーマは、置換の公理スキーマと空集合の公理によって暗示される。分離の公理スキーマには以下が含まれることを思い出してほしい。

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

が自由ではない、つまり には言及していない集合論の言語における各式に対して。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle B}$

証明は以下のとおりです。にはを検証する要素が含まれているか、含まれていないかのどちらかです。後者の場合、 について空集合を取ると、分離公理スキーマの関連インスタンスが満たされ、これで完了です。それ以外の場合は、を検証するの固定された を選択します。次に、置換で使用する を定義します。この述語 に関数表記法を使用すると、が真である場合は恒等関数として、 が偽である場合は定数関数として機能します。場合分けにより、可能な値は任意の について一意であるため、実際にクラス関数を構成します。次に、におけるの像、つまりクラスは、置換公理によって集合であることが認められます。これにより、分離公理が正確に検証されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta (a)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta (a)}$${\displaystyle \phi (x,y):=(\theta (x)\land y=x)\lor (\neg \theta (x)\land y=a)}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle F_{a}(x)=x}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle F_{a}(x)=a}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle B:=\{F_{a}(x):x\in A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle A\cap \{x:\theta (x)\}}$${\displaystyle B}$

この結果は、単一の無限公理スキーマで ZFC を公理化できることを示しています。少なくとも 1 つのそのような無限スキーマが必要であるため (ZFC は有限に公理化可能ではない)、これは、必要に応じて置換公理スキーマが ZFC の唯一の無限公理スキーマとして機能できることを示しています。分離公理スキーマは独立していないため、ツェルメロ-フランケル公理​​の現在の記述では省略されることがあります。

しかし、歴史的な考慮のため、ZFC の断片で使用する場合や、集合論の別の公理化と比較する場合、分離は依然として重要です。 置換公理を含まない集合論の定式化では、そのモデルに十分に豊富な集合のコレクションが含まれるようにするために、何らかの形の分離公理が含まれる可能性があります。 集合論のモデルの研究では、フォン ノイマン階層のモデルなど、置換のない ZFC モデルを検討すると便利な場合があります。 ${\displaystyle V_{\delta}}$

上記の証明は、を成立させる集合が存在する命題に対して排中律を仮定し、関係が関数的であると規定する場合は任意の に対して排中律を仮定しています。分離公理は、構成的集合論、またはその有界変種に明示的に含まれています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle \phi}$

ZFCにおけるレヴィの反射原理は、無限公理を仮定した置換公理と同等である。レヴィの原理は以下の通りである: ^[4]

任意のおよび任意の 1 階論理式に対して、となる が存在する。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\iff \phi ^{V_{\alpha }}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

これは、各式 に対して 1 つずつ、可算な数のステートメントで構成されるスキーマです。ここで、 は、すべての量指定子が に制限されている、つまりを意味しますが、とのすべてのインスタンスがそれぞれと に置き換えられています。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{M}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \exists x}$${\displaystyle \forall x}$${\displaystyle \exists (x\in V_{\alpha })}$${\displaystyle \forall (x\in V_{\alpha })}$

置換公理図は、エルンスト・ツェルメロの1908年の集合論の公理化（Z ）には含まれていなかった。カントールの未発表の著作には、これに非公式な近似値が存在し、ミリマノフ（1917）にも非公式に登場した。 ^[5]

1922年にアブラハム・フランケルがこれを発表したことで、現代の集合論はツェルメロ・フランケル集合論（ZFC ）と呼ばれるようになった。この公理は、同年後半にトラルフ・スコーレムが独自に発見・発表（1923年に出版）した。ツェルメロ自身も、1930年に出版した改訂版の体系にフランケルの公理を取り入れ、その中にはフォン・ノイマンの基礎公理も新たな公理として含まれていた。^[6]これは、今日使われている公理リストの第一階版であるが、^[7]個々の公理はツェルメロかフランケルのどちらかが先に開発しているため、スコーレムの功績は認められないことが多い。「ツェルメロ・フランケル集合論」という語句は、1928年にフォン・ノイマンが初めて印刷物で使用した。^[8]

ツェルメロとフランケルは1921年に頻繁に文通しており、置き換え公理はこのやり取りの主要な話題であった。^[7]フランケルは1921年3月ごろからツェルメロとの文通を始めた。しかし、1921年5月6日の手紙より前の手紙は失われている。ツェルメロは1921年5月9日のフランケルへの返信で初めて自分の体系に欠陥があることを認めた。1921年7月10日、フランケルは論文を完成させて出版に提出した（1922年に出版）。論文では、彼の公理は任意の置き換えを許すものであると述べていた。「Mが集合であり、Mの各要素が[集合または初等元]に置き換えられると、Mは再び集合になる」（括弧内の補完とエビングハウスによる翻訳）。フランケルの1922年の出版物では、有益な議論に対してツェルメロに感謝の意を表した。この出版に先立ち、フランケルは1921年9月22日にイエナで開催されたドイツ数学会の会議で彼の新しい公理を公表した。ツェルメロもこの会議に出席しており、フランケルの講演後の議論で彼は置換公理を一般的な意味で受け入れたが、その範囲については留保を表明した。^[7]

トラルフ・スコーレムは、1922年7月6日にヘルシンキで開催された第5回スカンジナビア数学者会議で行った講演で、ツェルメロの体系のギャップ（フランケルが発見したギャップと同じ）の発見を公表した。この会議の議事録は1923年に出版された。スコーレムは、一階の定義可能置換の観点から解決策を提示した。「U を、領域B内の特定のペア（a、b ）に対して成立する明確な命題とする。さらに、すべてのaに対して、Uが真となるb が最大で1つ存在すると仮定する。すると、a が集合M _aの要素にわたって変化するのと同様に、b は集合M _bのすべての要素にわたって変化する。」同年、フランケルはスコーレムの論文のレビューを執筆し、その中でフランケルはスコーレムの考察が自分の考察と一致しているとだけ述べた。^[7]

ツェルメロ自身は、スコーレムの置き換え公理図式を決して受け入れなかった。^[7]彼はある時点で、スコーレムのアプローチを「貧困者の集合論」と呼んだ。ツェルメロは、大きな基数を許容するシステムを構想した。^[9]彼はまた、スコーレムの一階公理化から生じる集合論の可算モデルの哲学的含意に強く反対した。 ^[8]ハインツ=ディーター・エビングハウスによるツェルメロの伝記によると、ツェルメロがスコーレムのアプローチを認めなかったことで、集合論と論理学の発展に対するツェルメロの影響は終焉を迎えた。^[7]

• エビングハウス、ハインツ・ディーター（2007年）『エルンスト・ツェルメロ：その生涯と仕事へのアプローチ』、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 978-3-540-49553-6。
• Halmos、Paul R. (1974) [1960]、Naive Set Theory、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90092-6。
• ジェック、トーマス（2003）、集合論：第三千年紀版、改訂・拡張版、シュプリンガー、ISBN 3-540-44085-2。
• クネン、ケネス（1980）、集合論：独立性証明入門、エルゼビア、ISBN 0-444-86839-9。