自律システム（数学）

{\displaystyle x'=Ax,} — 線形**自律システムの**ポアンカレ写像を分類する安定性図 $x'=Ax,$ 特性に応じて安定または不安定と分類されます。安定性は一般的に図の左側で増加します。^{[ 1 ]}シンク、ソース、またはノードの中には平衡点となるものがあります。

数学において、自律系または自律微分方程式とは、独立変数に明示的に依存しない常微分方程式系のことである。変数が時間である場合、それらは時間不変系とも呼ばれる。

物理学における多くの法則は、独立変数が通常時間であると仮定され、自律系として表現される。これは、現在成り立つ自然法則が、過去または未来のどの時点においても成り立つ自然法則と同一であると仮定されているためである。

意味

自律システムは、次の形式の常微分方程式のシステムである。 ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$ ここで、 $xは$ $n$ 次元ユークリッド空間の値を取り、 $t$ はしばしば時間として解釈される。

これは、次の形式の微分方程式系とは区別される。 ${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$ システムの進化を支配する法則が、システムの現在の状態だけでなく、パラメータ $t$ （これも多くの場合、時間と解釈される）にも依存するシステム。このようなシステムは定義上、自律的ではない。

物件

解は水平方向の平行移動に対して不変である。

させて $x_{1}(t)$ 自律システムの初期値問題の唯一の解となる ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.$ それから $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ 解決する ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.$ 示す $s=t-t_{0}}$ 手に入れる $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ そして $ds=dt$ 、したがって ${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).$ 初期条件については、検証は自明である。 $x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.$

例

方程式 $y'=\left(2-y\right)y$ 独立変数は自律的であるため、 $x$ ) は方程式に明示的には現れません。この方程式の傾斜場と等傾斜線をプロットするには、 GNU Octave / MATLABで次のコードを使用できます。

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % 関数 f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % プロットサイズを選択DY = Ffun ( X , Y ); DX = ones ( size ( DY )); % プロット値を生成quiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % 方向場を黒でプロットhold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % 等傾斜線(0 1 2)を緑で追加title ( 'f(x,y)=(2-y)y の傾斜場と等傾斜線' )

グラフから関数が $\left(2-y\right)y$ は $x$ 不変であり、したがって解の形状も不変である。 $y(x)=y(x-x_{0})$ どのシフトでも $x_{0}$ 。

MATLABで方程式を記号的に解くには、

syms y(x) ; equation = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % 方程式を記号的に一般解として解くy_general = dsolve ( equation );

2つの平衡解が得られ、 $y=0$ そして $y=2$ 、そして未知の定数を含む第3の解 $C_{3}$ 、。-2/(exp(C3-2*x)-1)

初期条件にいくつかの特定の値を選択することで、いくつかの解のグラフを追加できます。

%異なる初期条件に対して初期値問題を記号的に解く% y1 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 3 ); % 解をプロットするezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); title ( 'f(x,y)=(2-y)y の傾斜場、等傾斜線、および解' ) legend ( '傾斜場' , '等傾斜線' , '解 y_{1..6}' ); text ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); text ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6' )}));グリッドオン;

定性分析

自律システムは位相空間を用いて定性的に分析することができる。1変数の場合、これは位相線となる。

解決手法

以下の手法は、1次元自律微分方程式に適用されます。次数 1 の任意の1次元方程式 $n$ は $n$ 次元一次システム（一次システムへの還元で説明されているように）は、必ずしも逆ではない。

第一の注文

一次自律方程式 $\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$ 分離可能なので、積分形式に整理することで解くことができる。 $t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$

2次

2次自律方程式 $\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$ より難しいが、新しい変数を導入することで解決できる^{[ 2 ]} $v={\frac {dx}{dt}}$ そして、の2階微分を表す $x$ 連鎖律を介して ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$ 元の式は次のようになる $v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$ これは、独立変数への言及を含まない一次方程式である。 $t$ 解決すると $v$ 関数として $x$ .次に、定義を思い出す $v$ :

${\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$

これは暗黙の解決策である。

特殊なケース: $x ″ = f (x)$

特別なケースでは $f$ 独立している $x'$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)$

別々に扱うことで利益が得られる。^{[ 3 ]}これらのタイプの方程式は、常にハミルトン系であるため、古典力学では非常に一般的である。

そのアイデアは、アイデンティティを活用することです

${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}$

これは連鎖律から導かれるものであり、ゼロ除算による問題がない限り成り立つ。

1次自律システムの両辺を反転させることにより、直ちに積分することができる。 $x$ :

${\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$

これは変数分離法を別の角度から捉えたものです。2階微分は、 $x$ の代わりに $t$ :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}$

改めて強調すると、達成されたことは、 $t$ は、 $x$ 元の2階微分方程式は、これで積分できます。

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}$

これは暗黙的な解法である。最大の潜在的な問題は、積分を簡略化できないことであり、これは積分定数を評価することが困難または不可能であることを意味する。

特殊なケース: $x ″ = x' n f (x)$

上記のアプローチを用いることで、この手法はより一般的な方程式にも拡張できる。

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)$

どこ $n$ は 2 と等しくない何らかのパラメータです。これは、2 階微分がのべき乗を含む形で書けるため機能します。 $x'$ 2階微分を書き直し、式を整理して、左辺を微分として表します。

${\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}$

右は+/−を運ぶ $n$ 均等である場合は、治療は異なる必要があります。 $n=2$ :

${\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}$

上位命令

3次以上の自律方程式を解くための類似の方法はありません。このような方程式は、線形性や方程式の右辺が従属変数のみに依存する（つまり、導関数には依存しない）など、何らかの他の単純化特性を持っている場合にのみ厳密に解くことができます^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} 。3次元の非線形自律システムがローレンツアトラクターやロスラーアトラクターのような真にカオス的な挙動を生み出す可能性があることを考えると、これは驚くべきことではありません。

同様に、一般的な非自律的な2階方程式は明示的に解くことができません。なぜなら、周期的に強制される振り子のように、これらもカオス的になる可能性があるからです。^{[ 6 ]}

多変量ケース

で $\mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)$ 、どこ $\mathbf {x} (t)$ は $n$ 次元列ベクトルは以下に依存する $t$ 。

解決策は $\mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c}$ どこ $\mathbf {c}$ は $n\times 1$ 定数ベクトル。^{[ 7 ]}

有限の期間

非線形自律常微分方程式の場合、いくつかの条件下では有限期間の解を開発することが可能です^{[ 8 ]。}ここでいう有限期間の解とは、システムが自身のダイナミクスによって終了時にゼロの値に達し、その後は永遠にゼロのままになることを意味します。これらの有限期間の解は実数全体上で解析関数にはなり得ず、終了時に非リプシッツ関数となるため、リプシッツ微分方程式の解の一意性を満たしません。

例えば、方程式は次のようになります。

y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1

有限時間解を許容する：

y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}

参考文献

↑ Egwald Mathematics - 線形代数: 線形微分方程式系: 線形安定性解析2019年10月10日アクセス。
↑ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 0-471-43338-1。
↑ 「2階自律方程式」(PDF) . Eqworld . 2021年2月28日取得.
↑ eqworldの3 階自律方程式。
↑ eqworldの4 階自律方程式。
↑ Blanchard; Devaney ; Hall (2005). Differential Equations . Brooks/Cole Publishing Co. pp. 540–543 . ISBN 0-495-01265-3。
↑ 「行列指数法」 . Math24 . 2021年2月28日取得。
↑ Vardia T. Haimo (1985). "有限時間微分方程式". 1985 第 24 回 IEEE 意思決定および制御会議. pp. 1729–1733 . doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .

[1] Egwald Mathematics - 線形代数: 線形微分方程式系: 線形安定性解析2019年10月10日アクセス。

[2] Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 0-471-43338-1。

[3] 「2階自律方程式」(PDF) . Eqworld . 2021年2月28日取得.

[4] qworldの3 階自律方程式。

[5] qworldの4 階自律方程式。

[6] Blanchard; Devaney ; Hall (2005). Differential Equations . Brooks/Cole Publishing Co. pp. 540–543 . ISBN 0-495-01265-3。

[7] 「行列指数法」 . Math24 . 2021年2月28日取得。

[8] Vardia T. Haimo (1985). "有限時間微分方程式". 1985 第 24 回 IEEE 意思決定および制御会議. pp. 1729–1733 . doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .

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[ 8 ]。

自律システム（数学）

意味

物件

例

定性分析

解決手法

第一の注文

2次

特殊なケース: $x ″ = f (x)$

特殊なケース: $x ″ = x' n f (x)$

上位命令

多変量ケース

有限の期間

関連項目

参考文献

関連するトピック

Stability theory

ポアンカレ写像

平衡点と

位相平面

意味

物件

例

定性分析

解決手法

第一の注文

2次

特殊なケース: x ″ = f ( x )

特殊なケース: x ″ = x ′ n f ( x )

上位命令

多変量ケース

有限の期間

関連項目

参考文献

関連するトピック

Stability theory

ポアンカレ写像

平衡点と

位相平面

特殊なケース: $x ″ = f (x)$

特殊なケース: $x ″ = x' n f (x)$