寓話（数学）

カテゴリーCにおいて、対象XとYの間の関係は射のスパンである。${\displaystyle X\gets R\to Y}$それは共同で単数形である。そのようなスパンが2つ${\displaystyle X\gets S\to Y}$そして${\displaystyle X\gets T\to Y}$SとTの間に同型写像が存在し、すべてが可換になる場合、関係は同値とみなされます。厳密に言えば、関係は同値性までしか定義されません（これは同値類または双圏を用いて形式化できます）。圏Cに積が存在する場合、 XとYの間の関係は、X × Yへの単射（またはそのような同値類）と同じです。引き戻しと適切な因数分解システムが存在する場合、関係の合成を定義できます。合成${\displaystyle X\gets R\to Y\gets S\to Z}$まずコスパンを引き戻すことで見つけられます${\displaystyle R\to Y\gets S}$そして、結果として得られたスパンの共同単数イメージを取る${\displaystyle X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.}$

因数分解システムが適切に安定していれば、関係の合成は結合的になります。この場合、Cと同じ対象を持つが、射が対象間の関係である圏Rel( C )を考えることができます。恒等関係は対角線です。${\displaystyle X\to X\times X.}$

正則圏（有限の極限と像を持ち、カバーが引き戻しに対して安定な圏）は、安定な正則エピ／モノ分解システムを持つ。正則圏の関係圏は常にアレゴリーである。反対合は、関係の始点／終点を反転させることによって定義され、交差は部分対象の交差であり、引き戻しによって計算される。

寓話Aにおける射Rは、それが完全射である場合に写像と呼ばれる。${\displaystyle (1\subseteq R^{\circ }R)}$そして決定論的${\displaystyle (RR^{\circ }\subseteq 1).}$別の言い方をすれば、マップとは、A を局所順序構造を用いて2-圏とみなしたときに、 Aに右随伴を持つ射のことである。寓話におけるマップは、恒等写像と合成写像に関して閉じている。したがって、 Aには、同じ対象を持ちながら射としてマップのみを持つ部分圏Map( A )が存在する。正則圏Cに対しては、圏の同型が存在する。${\displaystyle C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).}$特に、Map(Rel( Set ))の射は、通常の集合関数です。

寓話では、射影${\displaystyle R\colon X\to Y}$2枚の地図によって表にまとめられている${\displaystyle f\colon Z\to X}$そして${\displaystyle g\colon Z\to Y}$もし${\displaystyle gf^{\circ }=R}$そして${\displaystyle f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.}$すべての射が表形式を持つ場合、アレゴリーは表形式であると呼ばれます。正則圏Cの場合、アレゴリーRel( C )は常に表形式です。一方、任意の表形式アレゴリーAの場合、写像の圏Map( A )は局所的に正則な圏です。つまり、引き戻し、等化子、および引き戻しに対して安定な像を持ちます。これはMap( A )の関係を研究するのに十分であり、この設定では、${\displaystyle A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).}$

寓話における単位とは、その恒等写像が最大の射である対象Uのことである。${\displaystyle U\to U,}$そして、他のすべての対象からUへの完全な関係が存在する。単位を持つアレゴリーは単位的と呼ばれる。表形式のアレゴリーAが与えられたとき、カテゴリMap( A )が正則カテゴリ (終端対象を持つ) であるのは、 A が単位的である場合のみである。

寓話の追加的な性質は公理化できる。分配的寓話は、適切に振る舞う和集合のような演算を持ち、除算的寓話は、関係代数の除算演算の一般化を持つ。冪集合のような構造を追加した分配除算的寓話である。寓話と正則圏との関連性は、冪集合とトポスとの関連性へと発展させることができる。