空力音響学

航空音響学は、乱流運動または表面と相互作用する空気力によって発生する騒音を研究する音響学の一分野です。騒音の発生は、周期的に変化する流れにも関連している場合があります。この現象の顕著な例として、固定された物体の上を風が吹くことによって発生する風音（エオリアン・トーン）が挙げられます。

空気力学的流れによる騒音発生の完全な科学的理論は確立されていませんが、ほとんどの実用的な空力音響解析は、1950年代にマンチェスター大学に在籍していたジェームズ・ライトヒル卿によって提案されたいわゆる空力音響アナロジー^{[ 1 ]}に依拠しています。^{[ 2 ] [ 3 ]}このアナロジーでは、流体の運動を支配する方程式が、左辺の「古典的」（つまり線形）音響の波動方程式を彷彿とさせる形式に強制的に変換され、残りの項が右辺の音源となります。

現代の航空音響学の分野は、1950年代初頭にライトヒル^{[ 2 ] [ 3 ]}が初めて論文を発表したことから始まったと言える。当時、ジェットエンジンに関連する騒音発生が科学的な精査の対象となり始めていた。

ライトヒル^{[ 2 ]は}、圧縮性粘性流体の流れを支配するナビエ・ストークス方程式を非均質波動方程式に再構成し、流体力学と音響学を結びつけた。これは、厳密には流れによって誘発/生成される騒音の物理に基づいているのではなく、圧縮性流体の支配方程式を通してどのように表現できるかという類推に基づいて音響場のモデルを提示するため、「ライトヒルの類推」と呼ばれることが多い。

連続の式と運動量方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )&=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \rho }$流体密度は、${\displaystyle \mathbf {v} }$は速度場です。${\displaystyle p}$流体圧力と${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$は粘性応力テンソルです。${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} }$はテンソルです（テンソル積も参照）。質量保存方程式を時間に関して微分し、最後の方程式の発散を取って、それを前の方程式から引くと、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )+\nabla p-\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\right]。}$

引き算${\displaystyle c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho }$、 どこ${\displaystyle c_{0}}$は媒体の平衡状態（または静止状態）における音速であり、最後の式の両辺から、有名なライトヒルの空気音響方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \nabla$ :\mathbf {T} ,\quad \mathbf {T} =\rho \mathbf {v} \mathbf {v} +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }},}

どこ${\displaystyle \nabla \nabla }$ヘシアンと​${\displaystyle \mathbf {T} }$は、音場に対するいわゆるライトヒル乱流応力テンソルである。ライトヒル方程式は非斉次波動方程式である。アインシュタイン記法を用いると、ライトヒル方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}-\tau _{ij}.}$

各音響源項、すなわち項${\displaystyle T_{ij}}$は、考慮される流れ条件によっては、騒音の発生に重要な役割を果たす可能性がある。${\displaystyle \rho v_{i}v_{j}}$第 1 項は流れの慣性効果 (またはオズボーン・レイノルズによって開発されたレイノルズ応力) を表し、第 2 項は${\displaystyle (p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}}$非線形音響生成プロセスを記述し、最後に最後の項$\displaystyle \tau _{ij}}$粘性力による音の発生／減衰に対応する。

実際には、ジェットノイズなどの乱流ノイズ発生問題では粘性の影響が小さいため、流体に対する粘性の影響を無視するのが一般的です。ライトヒル^{[ 2 ]}はこの問題について詳細な議論を提供しています。

空力音響学の研究では、関連する空力騒音発生メカニズムに関する考察を行うために、ライトヒル方程式の音源項を解くための理論的および計算的手法が用いられます。最後に、ライトヒル方程式は、その導出においていかなる近似も行われていないという意味で厳密な方程式であることを理解することが重要です。

流体力学に関する古典的な教科書の中で、ランダウとリフシッツ^{[ 4 ]は}、ライトヒルの方程式（すなわち、「乱流」流体運動によって発生する音の方程式）に類似した空力音響方程式を導出しているが、これは非粘性流体の非圧縮性流れに関するものである。彼らが得た非均質波動方程式は圧力に関するものである。${\displaystyle p}$密度のためではなく${\displaystyle \rho }$流体の。さらに、ライトヒルの式とは異なり、ランダウとリフシッツの式は厳密なものではなく、近似式である。

近似を許容するならば、（必ずしも流体が非圧縮性であると仮定することなく）ライトヒル方程式の近似を得るためのより簡単な方法は、${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$、 どこ$\displaystyle \rho _{0}}$そして${\displaystyle p_{0}}$これらは、流体の平衡状態における（特性）密度と圧力です。次に、圧力と密度の間の仮定された関係を代入すると、${\displaystyle (*)\,}$（非粘性流体の場合、σ = 0）方程式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{ただし}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.}$$

そして、流体が実際に非圧縮性である場合、つまり${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$（ある正の定数に対して）$\displaystyle \rho _{0}}$^{) が至る所で成り立つと、ランダウとリフシッツ[ 4 ]}で与えられた方程式、すなわち、

$${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{ただし}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.}$$

同様の近似式（式）${\displaystyle (*)\,}$すなわち、${\displaystyle T\approx \rho _{0}{\hat {T}}}$^{は、Lighthill [ 2 ]}によって提案されている[後者の論文の式 (7) を参照]。

もちろん、私たちが次のように仮定することが正当化されるかどうか疑問に思う人もいるかもしれない。${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$答えは肯定です。ただし、流れが特定の基本的な仮定を満たす場合に限ります。特に、${\displaystyle \rho \ll \rho _{0}}$そして${\displaystyle p\ll p_{0}}$すると、仮定された関係は音波の線形理論から直接導かれる（例えば、線形化されたオイラー方程式と音響波動方程式を参照）。実際、間の近似関係は${\displaystyle p}$そして${\displaystyle \rho }$これは、流体の一般的な順圧状態方程式に対する単なる線形近似であると仮定した。

しかし、上記の議論の後でも、本質的に線形な関係を用いて非線形波動方程式を単純化することが正当化されるかどうかは依然として明らかではありません。それにもかかわらず、この分野の教科書（例えば、NaugolnykhとOstrovsky ^{[ 5 ]}、HamiltonとMorfey ^{[ 6 ]）}が示すように、非線形音響学では非常に一般的な手法です。

• 音響理論
• エオリアンハープ
• 計算航空音響学

• MJ Lighthill、「空気力学的に発生する音について。I. 一般理論」、Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) pp.  564–587。この論文はJSTORに掲載されています。
• MJ Lighthill、「空気力学的に発生する音について。II. 音源としての乱流」、Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) pp.  1–32。この論文はJSTORに掲載されています。
• L.D.ランダウとE.M.リフシッツ著『流体力学第2版』、理論物理学講義 第6巻、バターワース・ハイネマン社（1987年）§75。ISBN 0-7506-2767-0Amazonのプレビュー。
• K. ナウゴルニフ、L. オストロフスキー著『音響における非線形波動過程』、ケンブリッジ応用数学テキスト第9巻、ケンブリッジ大学出版局（1998年）、第1章。ISBN 0-521-39984-XGoogle のプレビュー。
• MF Hamilton および CL Morfey、「モデル方程式」、非線形音響学、編者 MF Hamilton および DT Blackstock、Academic Press (1998)、第 3 章。ISBN 0-12-321860-8Google のプレビュー。
• ミシシッピ大学の航空音響学
• ルーヴェン大学の航空音響学
• International Journal of Aeroacoustics （2005年10月30日時点のアーカイブ）
• NASAの航空音響学の例（ 2016年3月4日アーカイブ、 Wayback Machineに保存）
• エアロアコースティクス・インフォ