計算流体音響学

計算航空音響学は、数値的手法を通じて乱流による騒音の発生を分析することを目的とした航空音響学の分野です。

計算流体音響学の起源は、おそらく1980年代半ばにハーディンとラムキン^[1]が発表した論文に遡る。彼らは次のように主張した。

「[...] 計算流体力学の分野はここ数年で急速に進歩しており、現在では連続的な速度と渦度場の第一原理の決定から騒音を直接計算する「計算航空音響学」が可能になるかもしれないという希望が生まれています。[...]」

その後、1986年の出版物^[2]で、同じ著者らがCAAという略語を導入しました。この用語は当初、 EIFで説明されているように、低マッハ数アプローチ（非圧縮性流れの周りの音響摂動場の展開）に対して使用されていました。その後、1990年代初頭に、成長を続けるCAAコミュニティがこの用語を採用し、空力音響源からの騒音放射や不均質流れ場における音波の伝播を記述するあらゆる種類の数値手法に対して広く使用しました。このような数値手法には、遠方場積分法（例：FW-H ^{[3] [4]}）や、空力騒音の発生や伝播を記述する数学モデルの解（例：^[5]）に最適化された直接数値手法があります。計算リソースの急速な発展により、この分野は過去30年間で目覚ましい進歩を遂げました。

圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、流れ場と空気力学的に生成された音響場の両方を記述します。したがって、両方を直接解くことができます。音響変数と流れ変数の間には長さのスケールの大きな違いがあるため、非常に高い数値解像度が必要です。これは計算上非常に要求が厳しく、商用には適していません。

このアプローチでは、計算領域が複数の領域に分割され、支配的な音響または流れ場を異なる方程式と数値手法で解くことができます。これには、専用の数値流体力学(CFD) ツールと音響ソルバーの 2 つの異なる数値ソルバーの使用が含まれます。次に、流れ場を使用して音響源を計算します。定常状態 (RANS、SNGR (確率的ノイズ生成および放射)、...) と過渡状態 (DNS、LES、DES、URANS、...) の両方の流体場ソリューションを使用できます。これらの音響源は、音響伝播を計算する 2 番目のソルバーに提供されます。音響伝播は、次のいずれかの方法で計算できます。

1. 積分法
   1. ライトヒルの類推
   2. キルヒホッフ積分
   3. FW-H
2. リー
3. 擬似スペクトル
4. EIF
5. 猿

音源の音響遠距離場を計算するために、音響波動方程式の既知の解に基づく複数の方法があります。自由空間における波動伝播の一般的な解は、すべての音源にわたる積分として記述できるため、これらの解は積分法としてまとめられます。音響源は、何らかの異なるソース（たとえば、移動する機械システムの有限要素シミュレーションまたは移動する媒体内の音源の流体力学 CFD シミュレーション）から既知である必要があります。積分は、遅延時間（音源時間）におけるすべての音源に対して行われます。遅延時間とは、音源が信号を送信し、その信号が特定の観測者の位置に到着する時間です。すべての積分法に共通するのは、波動方程式の理論解を使用するため、音速の変化や音源と観測者の位置間の平均流速を考慮できないことです。Lighthill の理論^{[6] [7]}を流体力学のナビエ ストークス方程式に適用すると、体積音源が得られますが、他の 2 つの類推では、表面積分に基づいて遠距離場の情報が得られます。音響アナロジーは、波動方程式の既知の解を使用するため、非常に効率的かつ高速です。遠く離れた観測者 1 人の場合も、非常に近い観測者 1 人の場合と同じ時間がかかります。すべてのアナロジーの適用に共通するのは、多数の寄与に対する積分であり、これにより追加の数値問題が発生する可能性があります (結果がゼロに近い多数の大きな数の加算/減算)。さらに、積分法を適用する場合、通常、ソース領域は何らかの形で制限されます。理論上は外部のソースはゼロでなければなりませんが、アプリケーションでは常にこの条件を満たすことはできません。特に CFD シミュレーションとの関連では、これにより大きなカットオフ エラーが発生します。領域の出口でソースを徐々にゼロに減衰させるか、この最終効果を修正するためにいくつかの項を追加することで、これらのカットオフ エラーを最小限に抑えることができます。

「音響アナロジー」とも呼ばれます。ライトヒルの空力音響アナロジーを得るために、支配的なナビエ-ストークス方程式が並べ替えられます。左側は波動演算子で、それぞれ密度摂動または圧力摂動に適用されます。右側は、流体の流れにおける音響源として識別されます。ライトヒルのアナロジーは、ナビエ-ストークス方程式から単純化せずに直接従うため、すべての音源が存在します。音源の一部は、乱流または層流ノイズとして識別されます。遠距離音圧は、音源を含む領域上の体積積分によって与えられます。音源項には常に、不均質媒体での伝播を記述する物理音源とそのような音源が含まれます。

ライトヒルのアナロジーの波動演算子は、音源ゾーンの外側の一定の流れ条件に限定されます。密度、音速、マッハ数の変化は許されません。異なる平均流れ条件は、音響波が通過すると、アナロジーによって反対の符号を持つ強い音源として識別されます。音響波の一部は 1 つの音源によって除去され、新しい波が放射されて異なる波速が固定されます。これにより、強い音源を持つ非常に大きな体積が生じることがよくあります。音と流れの相互作用やその他の効果を説明するために、ライトヒルの元の理論にいくつかの修正が提案されています。ライトヒルのアナロジーを改善するために、波動演算子内のさまざまな量とさまざまな波動演算子が、次のアナロジーによって考慮されます。それらはすべて、修正された音源項を取得し、場合によっては「実際の」音源をより明確に把握できます。Lilley、^[8]、 Pierce、^[9] 、 Howe ^[10]、および Möhring ^[11]の音響アナロジーは、ライトヒルのアイデアに基づく空力音響アナロジーのほんの一例です。すべての音響アナロジーでは、音源項の体積積分が必要です。

しかし、音響アナロジーの主な難しさは、超音速流では音源がコンパクトではないことです。音源が完全に減衰した場所を超えて下流方向に計算領域を拡張できない限り、音場を計算する際にエラーが発生する可能性があります。さらに、遅延時間効果を正確に考慮するには、音源の収束解の時間履歴を長期間記録する必要がありますが、これもストレージの問題となります。現実的な問題の場合、必要なストレージは 1テラバイトのオーダーのデータに達することがあります。

キルヒホッフとヘルムホルツは、限られた音源領域からの音の放射は、この音源領域を制御面、いわゆるキルヒホッフ面によって囲むことによって記述できることを示した。次に、音源が許可されず、左側の波動演算子が適用される表面の内側または外側の音場は、表面上の単極子と双極子の重ね合わせとして生成できる。この理論は波動方程式から直接導かれる。表面上の単極子と双極子の音源強度は、表面上の法線速度 (単極子の場合) と圧力 (双極子の場合) がそれぞれわかっていれば計算できる。この方法の修正により、法線速度のみに基づいて表面上の圧力を計算することさえ可能になる。法線速度は、たとえば、移動する構造物の FE シミュレーションによって与えることができる。しかし、表面上の音響圧力が既知であることを避ける修正は、その共鳴周波数で囲まれた体積を考慮するときに問題を引き起こし、これが彼らの方法の実装における大きな問題となる。キルヒホッフ積分法は、例えば境界要素法(BEM) に応用されています。非ゼロ流速は、音波伝播が発生する外側の流速を持つ移動参照フレームを考慮することによって説明されます。この方法を繰り返し適用することで、障害物を説明することができます。まず、障害物の表面の音場を計算し、次に障害物の表面の法線速度を打ち消すためにその表面に音源を追加することで障害物を導入します。平均流場 (音速、密度、速度) の変動は、同様の方法 (例: 二重相反性 BEM) によって考慮できます。

Ffowcs Williamsと Hawkingsの積分法は、Lighthill の音響アナロジーに基づいています。ただし、制御面 (FW-H 面) で囲まれた限られた音源領域を前提とした数学的な変更により、体積積分は回避されます。単極音源と双極音源の表面積分はそのまま残ります。Kirchhoff 法とは異なり、これらの音源は、Lighthill のアナロジーを介してナビエ-ストークス方程式から直接導かれます。FW-H 面の外側の音源は、Lighthill テンソルから導かれる四極音源の追加の体積積分によって説明できます。ただし、Kirchhoff の線形理論と同じ前提を考慮すると、FW-H 法は Kirchhoff 法と同じです。

x軸上の密度、圧力、速度の均一な平均​​流に小さな乱れが重畳されることを考慮すると、2次元モデルのオイラー方程式は次のように表されます。 ${\displaystyle \rho_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf { G} }{\partial y}}=\mathbf {S} }$、

どこ

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\u\\v\\p\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\ rho _{0}u+\rho u_{0}\\u_{0}u+p/\rho _{0}\\u_{0}v\\u_{0}p+\gamma p_{0}u\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho _{0}v\\0\\p/\rho _{0}\\\gamma p_{0}v\\\end{bmatrix}},}$

ここで、、、は音響場変数、比熱比、20℃の空気の場合、右辺の音源項は分布した非定常音源を表す。LEEの応用はエンジン騒音研究に見られる。 ^[12]${\displaystyle \rho}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$${\displaystyle c_{p}/c_{v}=1.4}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

圧縮性領域における高マッハ数の流れの場合、音響伝播は非線形性の影響を受ける可能性があり、LEE は適切な数学モデルではなくなる可能性があります。

フーリエ擬似スペクトル時間領域法は、計算航空音響学に関連する波動伝播問題に適用できます。フーリエ擬似スペクトル時間領域法の元のアルゴリズムは、物理的境界との相互作用なしに周期的な問題に機能します。いくつかの非周期的な航空音響問題を解決するために、スリップ壁境界条件とバッファゾーン技術を組み合わせたものが提案されています。^[13] 他の計算方法と比較して、擬似スペクトル法は高次精度のために好まれています。

非圧縮流れに関する拡張

音響摂動方程式

R.EwertとW.Schroderによる論文「音源フィルタリングによる流れ分解に基づく音響摂動方程式」を参照のこと。^[14]

• 航空音響学
• 音響理論

• ライトヒル、MJ、「航空音響学と大気音の一般入門」、ICASE レポート 92-52、NASA ラングレー研究センター、バージニア州ハンプトン、1992 年

• NASAの航空音響学における例
• リヨン中央学校の計算航空音響学
• ルーヴェン大学の計算航空音響学
• ベルリン工科大学における計算空気音響学
• ベルリン工科大学の CAA 講義台本