ベース（トポロジー）

数学において、位相空間( X , τ)の位相τの基底(または基底、複数形:基数)は、位相のあらゆる開集合が の何らかの部分族の和集合に等しいような X の開部分集合の族である。たとえば、実数直線上のすべての開区間の集合は、上のユークリッド位相の基底である。これは、あらゆる開区間が開集合であり、 のあらゆる開部分集合も何らかの開区間族の和集合として表すことができるからである。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

基底は位相幾何学のいたるところに存在します。位相幾何学の基底に含まれる集合は基本開集合と呼ばれ、任意の開集合よりも記述や使用が簡単な場合が多くあります。^[1]連続性や収束性などの多くの重要な位相幾何学的定義は、任意の開集合ではなく基本開集合のみを使用して確認できます。一部の位相幾何学には、特定の有用な特性を持つ開集合の基底があり、これによりそのような位相幾何学的定義の確認が容易になる場合があります。

集合の部分集合のすべての族が上の位相の基底を形成するわけではありません。以下に詳述するいくつかの条件下では、部分集合の族は、部分族のすべての可能な和をとることによって得られる 上の（一意の）位相の基底を形成します。このような集合の族は、位相を定義するために非常に頻繁に使用されます。基底に関連するより弱い概念は、位相の部分基底です。位相の基底は、近傍基底とも密接に関連しています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相空間 が与えられたとき、位相の基底^[2]（または基底^[3] ） （位相が理解されている場合はの基底とも呼ばれる）は、位相のあらゆる開集合が の何らかの部分族の和集合として表すことができるような開集合の族である。^{[注 1]} の元は基本開集合と呼ばれる。同様に、の部分集合の族が位相の基底となることと が等しいこととは、および のあらゆる開集合に対して となる何らかの基本開集合が存在することとが等しいこととが等しい。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

たとえば、実数直線上のすべての開区間の集合は、実数上の標準位相の基底を形成します。より一般的には、距離空間では、点の周りのすべての開球の集合が位相の基底を形成します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

一般に、位相空間は多くの基底を持つことができます。位相全体は常にそれ自身の基底です (つまり、は の基底です)。実数直線の場合、すべての開区間の集合は位相の基底です。たとえば、有理端点を持つすべての開区間の集合や無理端点を持つすべての開区間の集合も同様です。2 つの異なる基底が共通の基本開集合を持つ必要はないことに注意してください。空間の位相的性質の 1 つは、その位相の基底の最小濃度であり、の重みと呼ばれ、 と表記されます。上記の例から、実数直線は可算な重みを持ちます。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)}$

が空間の位相の基底である場合、それは以下の性質を満たす: ^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$

(B1)被覆の要素、すなわち、すべての点はの何らかの要素に属します。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) あらゆる点に対して、となるような が存在する。${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

性質(B1)は、が​​開集合であるという事実に対応し、性質(B2)は、が開集合である という事実に対応する。${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

逆に、は位相を持たない単なる集合であり、 は特性 (B1) と (B2) を満たすの部分集合の族であるとする。 このとき、 はそれが生成する位相の基底となる。より正確には、の部分族の和集合であるのすべての部分集合の族をとすると、 は上の位相であり、は の基底となる。^[5] （概要： は、構成により任意の和集合に対して安定であり、(B2) により有限交差に対して安定であり、(B1) により を含み、 の空の部分族の和集合として空集合を含むため、位相 を定義する。この族は構成によりの基底となる。）このような集合の族は、位相を定義する非常に一般的な方法である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$

一般に、が集合で がの任意の部分集合の集まりである場合、を含む上に（一意の）最小の位相が存在します。（この位相は、を含む上のすべての位相の共通集合です。）この位相はによって生成される位相と呼ばれ、のサブベースと呼ばれます。この位相は、の要素の有限共通集合の任意の和集合すべてからなる集合としても特徴付けられます。（サブベースの記事を参照してください。）ここで、 が特性（B1）と（B2）も満たす場合、 によって生成される位相は、共通集合を取らずに、より簡単な方法で記述できます。は の要素のすべての和集合です（そしてその場合 の 基底です）。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau}$

条件 (B2) を確認する簡単な方法がよくあります。 の任意の 2 つの要素の交差がそれ自体 の要素であるか空である場合、条件 (B2) は自動的に満たされます ( を取ることによって)。たとえば、平面上のユークリッド位相では、水平および垂直の辺を持つすべての開いた長方形の集合が基底として許容され、このような 2 つの基本開集合の空でない交差も基本開集合になります。しかし、同じ位相の別の基底はすべての開いた円板の集合であり、ここでは完全な (B2) 条件が必要です。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

基底ではない開集合の集合の例としては、 と の形式における半無限区間すべての集合が挙げられます。によって生成される位相にはすべての開区間 が含まれるため、実数直線上の標準位相が生成されます。 しかし、は位相の部分基底にすぎず、基底ではありません。つまり、有限開区間には の要素は含まれません(つまり、特性 (B2) は成立しません)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle (-\infty,a)}$${\displaystyle (a,\infty )}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle S}$

におけるすべての開区間の集合Γは、上のユークリッド位相の基底を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

集合Xの空でない部分集合の族で、2つ以上の集合の有限交差で閉じているものは、X上のπシステムと呼ばれ、それがX を覆う場合のみ、必然的にX上の位相の基底となります。定義により、すべてのσ 代数、すべてのフィルタ（したがって特にすべての近傍フィルタ）、およびすべての位相は被覆πシステムであるため、位相の基底でもあります。実際、Γ がX上のフィルタである場合、{ ∅ } ∪ ΓはX上の位相であり、Γ はその基底です。位相の基底は有限交差で閉じている必要はなく、多くの基底は閉じていません。しかし、多くの位相は有限交差でも閉じている基底によって定義されます。たとえば、 の部分集合の次の族はそれぞれ有限交差で閉じているため、それぞれが 上の何らかの位相の基底を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• におけるすべての有界開区間の集合Γは、上の通常のユークリッド位相を生成します。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 内のすべての有界閉区間の集合Σは、上の離散位相を生成するので、ユークリッド位相はこの位相のサブセットです。これは、 Γ がΣのサブセットではないという事実にもかかわらずです。その結果、上のユークリッド位相であるΓによって生成される位相は、Σによって生成される位相よりも粗くなります。実際、Σには、ユークリッド位相では決して開かない空でないコンパクト集合が含まれるため、厳密には粗くなります。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 区間の両端が有理数であるようなΓ内のすべての区間の集合Γ は、 _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}Γと同じ位相を生成します。これは、記号Γの各インスタンスをΣに置き換えても当てはまります。
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ } は、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$Σによって生成される位相よりも厳密に粗い位相を生成します。 Σ _∞のどの要素も、上のユークリッド位相では開いていません。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ } は、${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド位相とΣ _∞によって生成される位相の両方よりも厳密に粗い位相を生成します。集合Σ _∞とΓ _{∞ は}互いに素ですが、それでもΓ _{∞ は}Σ _∞によって生成される位相のサブセットです。

• 全順序集合上の順序位相は、開区間のような集合の集合を基底として受け入れます。
• 距離空間では、すべての開いた球の集合が位相の基底を形成します。
• 離散トポロジは、すべてのシングルトンのコレクションをベースとしています。
• 第二可算空間とは、可算な基数を持つ空間です。

環のスペクトル上のザリスキ位相には、特定の有用な特性を持つ開集合からなる基底があります。この位相の通常の基底では、基本開集合のすべての有限交差は基本開集合です。

• のザリスキ位相は、代数集合を閉集合として持つ位相である。これは、代数超曲面の集合補集合によって形成される基底を持つ。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 環のスペクトルのザリスキー位相（素イデアルの集合）は、各要素が環の特定の要素を含まないすべての素イデアルで構成されるような基底を持ちます。

• 位相が位相よりも細かいとは、を含むのそれぞれの基本開集合に対して、 に含まれると を含むの基本開集合が存在する場合、かつその場合に限ります。${\displaystyle \tau_{2}}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$
• が位相の基底である場合、それぞれのすべての集合積のコレクションは積位相の基底です。無限積の場合でも、これは当てはまりますが、有限個を除くすべての基底要素は空間全体でなければなりません。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• を の基底とし、をの部分空間とします。 の各要素を と交差させると、結果として得られる集合の集合が部分空間 の基底になります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• 関数がのすべての基本開集合をの開集合に写像する場合、それは開写像です。同様に、 のすべての基本開集合の逆像が で開いている場合、 は連続です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$が位相空間の基底となるための必要十分条件は、を含む元の部分集合が任意の点 に対して で局所基底を形成する場合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$

閉集合は、空間の位相を記述するのに同様に優れています。したがって、位相空間の閉集合の基底という双対的な概念があります。位相空間が与えられた場合、閉集合の族が閉集合の基底を形成するのは、各閉集合と に含まれない各点に対して、を含むが を含まないの元が存在する場合のみです。 族が の閉集合の基底となるのは、の要素の補集合の族である におけるその双対が の開集合の基底である場合のみです。${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

を閉集合の基底とすると、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. それぞれについて、和集合はの何らかのサブファミリーの共通集合です(つまり、に含まれない任意の について、 を含み、 を含まない が存在します)。${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle x}$

これらの性質を満たす集合の部分集合の任意の集合は、位相の閉集合の基底を形成する。この位相の閉集合は、${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

場合によっては、開集合の基底よりも閉集合の基底を使用する方が便利なことがあります。たとえば、空間が完全に正則であるためには、零集合が閉集合の基底を形成する必要があります。任意の位相空間において、零集合は 上のある位相の閉集合の基底を形成します。この位相は、元の位相よりも粗い 上の最も細かい完全に正則な位相になります。同様に、A ⁿ上のザリスキ位相は、多項式関数の零集合を閉集合の基底として定義されます。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

私たちは、(Engelking 1989、p. 12、pp. 127-128)で確立された概念に基づいて作業を進めます。

X を位相空間に固定します。ここで、ネットワークは集合の族であり、すべての点xとx を含む開近傍Uに対して、 が存在する集合の族です。基底とは異なり、ネットワーク内の集合は必ずしも開いている必要はないことに注意してください 。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

重みw ( X )を基底の最小濃度と定義する。ネットワーク重みnw ( X )をネットワークの最小濃度と定義する。点の指標をXにおけるxの近傍基底の最小濃度と定義 する。Xの指標を${\displaystyle \chi (x,X),}$$${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

文字と重みを計算する目的は、どのような種類の基底とローカル基底が存在する可能性があるかを知ることです。次の事実があります。

• nw ( X ) ≤w ( X )である。
• Xが離散的であれば、w ( X ) = nw ( X ) = | X | となります。
• Xがハウスドルフの場合、nw ( X ) が有限となるのは、Xが有限離散である場合に限ります。
• BがXの基底であれば、サイズの基底が存在する。${\displaystyle B'\subseteq B}$${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• NがXのxの近傍基底である場合、サイズの近傍基底が存在する。${\displaystyle N'\subseteq N}$${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• が連続全射である場合、 nw ( Y ) ≤ w ( X ) です。( Xの各基底BについてYネットワークを単純に考えます。)${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• がハウスドルフであれば、より弱いハウスドルフ位相が存在するので、 となる。したがって、Xもコンパクトであれば、そのような位相は一致するので、最初の事実と合わせて、nw ( X ) = w ( X ) となる。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ')}$${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• コンパクト距離化可能空間からハウスドルフ空間への連続射影写像であれば、 Yはコンパクト距離化可能である。${\displaystyle f:X\to Y}$

最後の事実は、f ( X ) がコンパクト ハウスドルフであることから導かれ、したがって(コンパクト距離化可能空間は必然的に第 2 可算であるため)、コンパクト ハウスドルフ空間が第 2 可算である場合に限り距離化可能であるという事実からも導かれます。 (この応用例として、たとえば、ハウスドルフ空間内のすべてのパスはコンパクト距離化可能であることが挙げられます。) ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

上記の表記法を使用して、w ( X ) ≤ κ が何らかの無限基数であると仮定します。このとき、長さ ≥ κ ⁺の開集合の厳密に増加するシーケンス (閉集合の厳密に減少するシーケンスと同等) は存在しません。

これを（選択公理を使わずに）見るには、 を 開集合の基底として固定する。そして逆に が 開集合の厳密に増加する列であると仮定する。これは 、 $${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$$${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$$${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

なぜなら、 基底を使って、U _γ ⊆ V _α内のxを持つU _{γ を}見つけることが^できるからである 。この ようにして、各α_をU _γ ⊆ V αであり、$${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$$${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

この写像は単射です。そうでなければ、 α < βでf ( α ) = f ( β ) = γとなり、さらにU _γ ⊆ V _αが成立しますが、 も成立し 、これは矛盾です。しかし、これはκ ⁺ ≤ κ であることを示し、矛盾です。 $${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

• エセニン・ヴォルパンの定理
• 接着公理
• 近隣システム