アフィン項構造モデル

アフィン期間構造モデルは、ゼロクーポン債券価格（つまり割引曲線）をスポットレートモデルに関連付ける金融モデルです。これは、観測可能な債券市場データからスポットレートモデルの入力を決定するプロセスである利回り曲線を導出するのに特に役立ちます。アフィンクラスの期間構造モデルは、対数債券価格がスポットレート^[1]（および場合によっては追加の状態変数） の線形関数であるという便利な形式を意味します。

ダイナミクスを備えた確率的短期金利モデルから始めます。 ${\displaystyle r(t)}$

${\displaystyle dr(t)=\mu (t,r(t))\,dt+\sigma (t,r(t))\,dW(t)}$

および、時間に償還を迎えるリスクフリーのゼロクーポン債で、価格が時間 の場合を考えてみます。ゼロクーポン債の価格は次のように求められます。ここで、 は債券の償還日です。期待値は、リスク中立確率測度に関して求められます。債券の価格が次の形式である場合: ${\displaystyle T}$${\displaystyle P(t,T)}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\left\{\exp \left[-\int _{t}^{T}r(t')dt'\right]\right\}}$$${\displaystyle T=t+\tau }$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}}$

ここで、 およびは決定論的関数であり、短期金利モデルはアフィン期間構造 を持つと言われます。 満期 の債券の利回りは で表され、次のように与えられます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle y(t,\tau )}$$${\displaystyle y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }}\log P(t,\tau )}$$

現時点では、債券価格を明示的に計算する方法はまだわかっていません。しかし、債券価格の定義は、ファインマン-カックの公式に関連していることを暗示しており、債券価格は偏微分方程式によって明示的にモデル化できることを示しています。債券価格が潜在的要因の関数であると仮定すると、PDE が導かれます。ここで、 は潜在的要因の共分散行列です。ここで、潜在的要因は、リスク中立測度における伊藤の確率微分方程式によって決まります。債券価格の解が次の形式であると仮定します。債券価格の満期と各潜在的要因に関する導関数は、次のとおりです。これらの導関数により、PDE は一連の常微分方程式に簡約できます。閉じた形式の解を計算するには、追加の指定が必要です。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle -{\partial P \over {\partial \tau }}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}{\partial P \over {\partial x_{i}}}+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}-rP=0,\quad P(0,x)=1}$$${\displaystyle \オメガ}$$${\displaystyle dx=\mu ^{\mathbb {Q} }dt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} },\quad \Omega =\Sigma \Sigma ^{T}}$$$${\displaystyle P(\tau,x)=\exp \left[A(\tau)+x^{T}B(\tau)\right],\quad A(0)=B_{i}(0)=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial P \over {\partial \tau }}&=\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]P\\{\partial P \over {\partial x_{i}}}&=B_{i}(\tau )P\\{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}&=B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )P\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle -\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}B_{i}(\tau )+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )-r=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0}$$

伊藤の公式を使用すると、との制約を決定でき、その結果、アフィン期間構造が得られます。債券がアフィン期間構造を持ち、期間構造方程式を満たすと仮定すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))r-\mu (t,r)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,r)B^{2}(t,T)=0}$

境界値

${\displaystyle P(T,T)=1}$

暗示する

${\displaystyle {\begin{aligned}A(T,T)&=0\\B(T,T)&=0\end{aligned}}}$

次に、とが においてアフィンであると仮定します。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (t,r)&=\alpha (t)r+\beta (t)\\\sigma (t,r)&={\sqrt {\gamma (t)r+\delta (t)}}\end{aligned}}}$

すると微分方程式は次のようになる。

${\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0}$

この式はすべての、、に対して成り立つため、 の係数はゼロに等しくなければなりません。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle 1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)=0}$

すると、もう一方の項も消えるはずです。

${\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)=0}$

次に、と が においてアフィンであると仮定すると、モデルはアフィン項構造を持ち、 と は次の方程式系を満たします。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}}$

ヴァシチェクモデルは アフィン項構造を持ち、 ${\displaystyle dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(t,T)&=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}\\B(t,T)&={\frac {1}{a}}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)\\A(t,T)&={\frac {(B(t,T)-T+t)(ab-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})}{a^{2}}}-{\frac {\sigma ^{2}B^{2}(t,T)}{4a}}\end{aligned}}}$

アフィン期間構造モデリングへのアプローチの 1 つは、提案モデルに裁定取引のない条件を強制することです。一連の論文^{[2] [3] [4]では、有名なネルソン・シーゲル モデル[5]}の裁定取引のないバージョンを使用して、提案された動的利回り曲線モデルが開発されました。著者らはこれを AFNS と名付けています。AFNS モデルを導出するために、著者らはいくつかの仮定を立てています。

1. 利回り曲線の水準、傾き、曲率に対応する3つの潜在的要因がある。
2. 潜在因子は多変量オルンシュタイン・ウーレンベック過程に従って進化します。特定の仕様は、使用される測定方法によって異なります。
   1. ${\displaystyle dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }}$（現実世界の尺度）${\displaystyle \mathbb {P} }$
   2. ${\displaystyle dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }}$（リスク中立策）${\displaystyle \mathbb {Q} }$
3. ボラティリティ行列は対角である${\displaystyle \Sigma }$
4. 短期金利は水準と傾きの関数である（）${\displaystyle r=x_{1}+x_{2}}$

ゼロクーポン債価格の仮定モデルから、満期時の利回りは次のように与えられます。また、上記の仮定に基づくと、閉形式の解を得るために解く必要のある常微分方程式のセットは次のように与えられます。ここで、およびは、要素 を持つ対角行列です。係数を一致させると、次の方程式のセットが得られます。扱いやすい解を見つけるために、著者らは、が次の形式を取ることを提案しています。ベクトル について結合常微分方程式のセットを解き、 とすると、次のことがわかります。次に、標準的なネルソン-シーゲル利回り曲線モデルを再現します。利回り調整係数の解はより複雑で、2007 年の論文の付録 B に記載されていますが、裁定取引のない条件を強制するために必要です。 $${\displaystyle P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]}$$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \over {\tau }}}$$$${\displaystyle -\left[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\right]-B(\tau )^{T}K^{\mathbb {Q} }x+{1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0}$$${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle K^{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle K^{\mathbb {Q} }={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\lambda &-\lambda \\0&0&\lambda \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle B(\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T}}$$${\displaystyle x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )}$

AFNS モデルから得られる興味深い量の 1 つは、平均期待短期金利 (AESR) です。これは次のように定義されます。ここで、は短期金利の条件付き期待値、は満期 の債券に関連付けられた期間プレミアムです。AESR を求めるには、現実世界の尺度における潜在的要因のダイナミクスが次のとおりであることを思い出してください。多変量オルンシュタイン-ウーレンベック過程の一般解は次のとおりです。は行列指数であることに注意してください。この解から、時刻における要因の条件付き期待値を次のように明示的に計算できます。であることに注意すると、AESR の一般解は解析的に見つけることができます。$${\displaystyle {\text{AESR}}\equiv {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=y(\tau )-{\text{TP}}(\tau )}$$${\displaystyle \mathbb {E} _{t}(r_{s})}$${\displaystyle {\text{TP}}(\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {P} }$$${\displaystyle dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }}$$$${\displaystyle x_{t}=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }t}(x_{0}-\theta )+\int _{0}^{t}e^{-K^{\mathbb {P} }(t-t')}\Sigma dW^{\mathbb {P} }}$$${\displaystyle e^{-K^{\mathbb {P} }t}}$${\displaystyle t+\tau }$$${\displaystyle \mathbb {E} _{t}(x_{t+\tau })=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }(x_{t}-\theta )}$$${\displaystyle r_{t}=\rho ^{T}x_{t}}$$${\displaystyle {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=\rho ^{T}\left[\theta +{1 \over {\tau }}\left(K^{\mathbb {P} }\right)^{-1}\left(I-e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }\right)(x_{t}-\theta )\right]}$$

• ビョーク、トーマス (2009)。連続時間におけるアービトラージ理論、第 3 版。ニューヨーク州ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-957474-2。