比例公平ルール

オペレーションズリサーチや社会選択理論において、比例公平（PF）ルールとは、考えられるすべての選択肢の中から、改善の余地のない選択肢を選ぶべきであるというルールであり、「改善」とは、各個人にとって可能な相対的な改善の合計によって測定される。このルールは、システム全体の効率性を重視する功利主義ルールと、個人の公平性を重視する平等主義ルールの間の妥協点を見出すことを目的としている。

このルールは、通信ネットワークにおけるレート制御の文脈で最初に提示されました。^{[ 1 ]}しかし、これは一般的な社会的選択ルールであり、例えばリソース割り当てにも使用できます。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle X}$は、可能な「世界の状態」または「選択肢」の集合である。社会は、その中から単一の状態を選択したいと考えている。${\displaystyle X}$例えば、単記選挙では、${\displaystyle X}$は候補の集合を表す場合があります。リソース割り当て設定では、${\displaystyle X}$これは、資源のあらゆる可能な割り当てを表している可能性がある。

させて${\displaystyle I}$は有限集合であり、個体の集合を表す。各について${\displaystyle i\in I}$、 させて${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$は効用関数であり、個人iが各可能な状態から得る幸福の量を記述する。

社会的選択ルールはデータを使用するメカニズムです${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$要素を選択する${\displaystyle X}$社会にとって「最善」となる要素を選択する。「最善」の意味は何かという問いは、社会選択理論の基本的な問いである。比例公平ルールは、要素を選択する。${\displaystyle x\in X}$つまり、他のすべての状態について${\displaystyle y\in X}$:

$\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}{\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}.}$

和の中の項に注意してください。${\displaystyle {\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}}$は、エージェントiがxからyに切り替えたときの相対的な利得を表します。PF ルールは、状態x が状態yよりも優先されるのは、の場合のみです。 xからyに切り替えたときの相対的な利得の合計が正でない場合。

功利主義のルールは要素を選択する ${\displaystyle x\in X}$個々の効用の合計を最大化する、つまり他のすべての状態について${\displaystyle y\in X}$:

$\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}\left(u_{i}(y)-u_{i}(x)\right).}$

そのルールは、個人の現在の効用を無視している。特に、他の個人の効用が十分に大きい場合、一部の個人の効用がゼロになる状態を選択する可能性がある。平等主義ルールは要素を選択する。 ${\displaystyle x\in X}$個々の効用が最小となるように、つまり他のすべての状態について${\displaystyle y\in X}$:

$\displaystyle 0\geq \min _{i\in I}u_{i}(y)-\min _{i\in I}u_{i}(x).}$

このルールはシステム全体の効率性を無視している。具体的には、最小の効用をわずかに大きくするためだけに、大多数の個人の効用が非常に低い状態を選択する可能性がある。

比例公平ルールは、これら二つの極端な考え方のバランスを取ることを目的としています。一方では、効用の合計を考慮し、小さい方の効用だけを考慮することはありません。他方では、その合計の中で、現在の効用が小さいエージェントにより大きな重みを与えます。具体的には、ある個人の状態xにおける効用が 0 であり、その個人の効用が 0 より大きい別の状態yが存在する場合、比例公平ルールは状態 y を優先します。なぜなら、個人yの相対的な改善は無限大（0 で割り切れる）となるからです。

効用集合が凸である場合、比例公平解は必ず存在する。さらに、それは効用の積（ナッシュ厚生とも呼ばれる）を最大化する。^{[ 3 ]}

効用集合が凸でない場合、比例公平解が存在するとは限らない。しかし、存在する場合は、効用の積を最大化する。^{[ 2 ]}

比例的公平性は、さまざまな状況で研究されてきた。

• ネットワークスケジューリング。比例公平スケジューリングを参照。^{[ 4 ]}
• 公平な部分和問題。^{[ 2 ]}
• キューイング。^{[ 5 ]}

• ナッシュ福祉ルール― 社会選択理論における類似のルール