単一の均質な資源の公平な分配

羨望フリールールとは、資源はどのエージェントも他のエージェントを羨まないように配分されるべきであるというルールである。単一の均質な資源の場合、各エージェントの効用関数に関係なく、常に各エージェントに同じ量の資源を与える配分が選択される。

${\displaystyle \forall i:y_{i}=t/n}$

功利主義の原則によれば、効用の合計を最大化すべきである。したがって、功利主義的な配分は次のようになる。

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})}$

平等主義の原則によれば、すべてのエージェントの効用は等しくなければならない。したがって、我々は以下の条件を満たす配分を選択したい。

${\displaystyle \forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})}$

しかし、効用関数の範囲が重ならない可能性があるため、そのような割り当ては存在しないかもしれません（以下の例を参照）。解が存在することを保証するために、異なる効用レベルを許容しますが、効用レベルが最小値を超えるエージェントにはリソースが一切付与されないことを条件とします。

${\displaystyle y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})}$

言い換えれば、平等主義的な配分は最小効用を最大化する。

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})}$

功利主義的ルールと平等主義的ルールは、効用関数に応じて、同じ配分をもたらす場合もあれば、異なる配分をもたらす場合もある。以下にいくつかの例を示す。

すべてのエージェントが同じ効用関数を持っていると仮定します。${\displaystyle u}$しかし各エージェント${\displaystyle i}$初期資金が異なるため、${\displaystyle x_{i}}$。したがって、各エージェントの効用は${\displaystyle i}$次のように与えられます。

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})}$

もし${\displaystyle u}$が、収穫逓減を表す凹関数である場合、功利主義的配分と平等主義的配分は同じで、エージェントの初期保有量を均等化しようとします。たとえば、初期保有量が 3 人のエージェントの場合、${\displaystyle x=2,4,9}$そして合計金額は${\displaystyle t=8}$すると、両方のルールで割り当てが推奨される。${\displaystyle y=5,3,0}$なぜなら、それは（可能な限り）均等な効用を目指し、効用の合計を最大化するからである。

対照的に、もし${\displaystyle u}$が凸関​​数であり、収穫逓増を表している場合、平等主義的な配分は依然として平等に向かおうとするが、功利主義的な配分ではすべての資産が最も裕福な主体に与えられることになる。${\displaystyle y=0,0,9}$. ^{[ 1 ] : 45}これは、例えば、資源が希少な医薬品である場合に理にかなっています。治癒の可能性が最も高い患者にすべての医薬品を与えることが社会的に最善である可能性があります。

共通の効用関数があると仮定する${\displaystyle u}$しかし、各エージェントは異なる係数を持っている${\displaystyle a_{i}}$このエージェントの生産性を表しています。つまり、各エージェントの効用です。${\displaystyle i}$次のように与えられます。

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})}$

ここでは、功利主義的アプローチと平等主義的アプローチは正反対である。^{[ 1 ]： 46-47}

• 平等主義的な資源配分は、生産性の低い主体により多くの資源を与えることで、彼らを補償し、高い効用レベルに到達させる。

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}}$

• 功利主義的な資源配分では、生産性の高い主体に多くの資源が配分される。なぜなら、生産性の高い主体は資源をより効率的に利用するからである。

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}}$