クリプキ・プラテック集合論（ウレエレメント付き）

クリプキ・プラテック集合論（KPU）は、従来の（ウレメントを含まない）クリプキ・プラテック集合論に基づいた、ウレメントを含む集合論の公理系です。これは、（比較的）よく知られているZFUシステムよりもかなり弱いものです。ウレメントを許容する目的は、構築可能な宇宙の通常の整列性や再帰理論的な性質を損なうことなく、大規模または高複雑度の対象（すべての実数の集合など）を理論の推移的モデルに含めることができるようにすることです。KPは非常に弱いため、従来の方法ではこれを実現するのは困難です。

公理を述べる通常の方法は、2 段階ソートされた一階言語を前提としている。$\displaystyle L^{*}}$単一の二項関係記号を持つ ${\displaystyle \in }$次のような手紙${\displaystyle p,q,r,...}$要素を指定するが、要素は存在しない場合もある。一方、文字は${\displaystyle a,b,c,...}$セットを指定します。${\displaystyle x,y,z,...}$集合と要素の両方を表す場合がある。

セットを表す文字は、${\displaystyle \in }$一方、urelements のものは左側にのみ表示できます。つまり、以下は有効な表現の例です。${\displaystyle p\in a}$、${\displaystyle b\in a}$。

公理の記述には、特定の数式群への参照も必要となる。$\displaystyle \Delta _{0}}$-数式。コレクション$\displaystyle \Delta _{0}}$定数を使用して構築できる式で構成されます。${\displaystyle \in }$、${\displaystyle \neg }$、${\displaystyle \wedge }$、${\displaystyle \vee }$、そして限定量化。つまり、次の形式の量化です。${\displaystyle \forall x\in a}$または${\displaystyle \exists x\in a}$どこ${\displaystyle a}$与えられた集合である。

KPUの公理は、以下の論理式の普遍閉包である。

• 外延性：${\displaystyle \forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b}$
• 基礎: これは、すべての式に対して${\displaystyle \phi (x)}$我々は持っています${\displaystyle \exists a.\phi (a)\rightarrow \exists a(\phi (a)\wedge \forall x\in a\,(\neg \phi (x)))}$。
• ペアリング：${\displaystyle \exists a\,(x\in a\land y\in a)}$
• 組合：${\displaystyle \exists a\forall c\in b.\forall y\in c(y\in a)}$
• Δ ₀ -分離: これはまた公理図式であり、すべての$\displaystyle \Delta _{0}}$-式${\displaystyle \phi (x)}$私たちには以下があります${\displaystyle \exists a\forall x\,(x\in a\leftrightarrow x\in b\wedge \phi (x))}$。
• Δ ₀ -SCollection : これは公理スキーマでもあり、すべての$\displaystyle \Delta _{0}}$-式${\displaystyle \phi (x,y)}$我々は持っています${\displaystyle \forall x\in a.\exists y.\phi (x,y)\rightarrow \exists b\forall x\in a.\exists y\in b.\phi (x,y)}$。
• 集合の存在：${\displaystyle \exists a\,(a=a)}$

KPUは無限言語のモデル理論に適用できる。最大宇宙内の集合として考えられ、それ自体で推移的なKPUモデルは許容集合と呼ばれる。

• 公理的集合論
• 許容集合
• 許容される順序数
• クリプキ・プラテック集合論

• バーワイズ、ジョン（1975）、『許容集合と構造』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-07451-1。
• ゴスタニアン、リチャード（1980）「ZFのサブシステムの構築可能なモデル」、Journal of Symbolic Logic、45：237–250、doi：10.2307/2273185、JSTOR 2273185 。

• 「抽象的存在の論理」 。2007年9月30日にオリジナルからアーカイブされました。

• 「許容集合論」 。2003年9月2日にオリジナルからアーカイブされました。