ポアンソの楕円体

古典力学において、ポアンソ作図法（ルイ・ポアンソに由来）は、回転する剛体のトルクのない運動、つまり外力が作用していない剛体の運動を視覚化する幾何学的手法です。この運動には、物体の運動エネルギーと、慣性実験室系に対して表される角運動量の 3 つの成分という4 つの定数があります。剛体回転子の角速度ベクトルは一定ではありませんが、オイラーの方程式を満たします。運動エネルギーと角運動量の保存は、 の運動に 2 つの制約条件を与えます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

これらの方程式を明示的に解くことなく、運動は次のように幾何学的に記述できる。^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

• 剛体の運動は、座標系のように剛体にしっかりと固定された慣性楕円体の運動によって完全に決定されます。
• その慣性楕円体は、不変平面上を滑ることなく転がり、楕円体の中心は平面から一定の高さにあります。
• 常に、楕円体と平面の接点となります。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

動きは周期的であるため、楕円体上と平面上の 2 つの閉じた曲線を描きます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

• 楕円体上の閉じた曲線はポローデです。
• 平面上の閉じた曲線はヘルポローデです。

剛体が対称である場合（2 つの慣性モーメントが等しい場合）、ベクトルは円錐（端点は円）を描きます。これは、ローターの回転軸の トルクのない歳差運動です。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

エネルギー保存の法則は、エネルギーの散逸やトルクの印加がない場合には角運動エネルギーが保存されることを意味しています。 ${\displaystyle T\}$${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$

角運動エネルギーは慣性モーメントテンソル と角速度ベクトルで表される。${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

ここで、は角速度ベクトルの成分であり、 は両方がボディ フレーム内にある場合の主慣性モーメントです。したがって、運動エネルギー保存則は 3 次元角速度ベクトルに制約を課します。主軸フレームでは、角速度ベクトルは上記の式で定義される慣性楕円体 と呼ばれる楕円体上にある必要があります。 ${\displaystyle \omega _{k}\ }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle I_{k}\ }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

この楕円体上で角速度ベクトルによって描かれる経路は、ポルロード（ギリシャ語の「極の経路」の語源からポアンソが作った造語）と呼ばれ、通常は円形またはタコスの形をしています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

角運動量保存の法則によれば、トルクが加えられていない場合、角運動量ベクトルは慣性座標系内で保存されるため、 となります。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$

角運動量ベクトルは慣性モーメントテンソルと角速度ベクトルで表される。${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

そこから次の式が導かれる。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .}$

とのドット積は定数であり、それ自体も定数であるため、角速度ベクトルは 角運動量ベクトル の方向に定数成分を持ちます。これにより、ベクトル に 2 番目の制約が課されます。絶対空間では、ベクトル は保存ベクトル とのドット積によって定義される不変平面上になければなりません。不変平面の法線ベクトルは と一直線になります。角速度ベクトルが不変平面上で描く経路は、ヘルポローデ(ギリシャ語の「蛇行した極の経路」を意味する造語) と呼ばれます。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

ヘルポローデは一般に開いた曲線であり、回転が完全に繰り返されるわけではないが、ポルホデは閉じた曲線である（下記参照）。^[2]

これら2つの制約は異なる参照フレームで作用します。楕円体制約は（回転する）主軸フレームで保持されますが、不変の平面定数は絶対空間で作用します。これらの制約を関連付けるために、角速度ベクトルに対する運動エネルギーの勾配ベクトルは角運動量ベクトルに等しいことに留意してください。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

したがって、 における運動エネルギー楕円体の法線ベクトルは に比例し、これは不変平面についても当てはまります。法線ベクトルは同じ方向を指しているため、これら 2 つの表面は接線方向に交差します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

これらの結果を総合すると、絶対基準系では、瞬間角速度ベクトルは、固定された不変平面と、その平面に接し、滑ることなくその上を回転する運動エネルギー楕円体との交点であることが分かります。これがポアンソ作図です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

主軸フレーム（絶対空間で回転する）では、角運動量ベクトルはトルクが加えられていない場合でも保存されず、オイラーの方程式で記述されるように変化します。ただし、トルクが加えられていない場合、角運動量の大きさと運動エネルギーは両方とも保存されます。 ${\displaystyle L\}$${\displaystyle T\}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={ \frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{整列}}}$

ここで、 は主軸に沿った角運動量ベクトルの成分であり、 は主慣性モーメントです。 ${\displaystyle L_{k}\ }$${\displaystyle I_{k}\ }$

これらの保存則は、3 次元の角運動量ベクトル に対する 2 つの制約に相当します。運動エネルギーは楕円体 上に制約しますが、角運動量制約は球上に制約します。これらの 2 つの表面は、 の可能な解を定義するタコスの端のような形をした 2 つの曲線で交差します。これは、 とポロードが、オブジェクトの移動参照フレーム内で閉じたループ上に留まること を示しています。${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$

したがって、空間における物体の向きには 2 つの自由度があります。まず、「タコ エッジ」上のいずれかの点が、絶対空間の一定ベクトルである と揃う必要があります。次に、この点を通過する物体フレームのベクトルが固定されている場合、物体はそのベクトルを中心に任意の回転量を持つことができます。したがって、原理的には、物体の向きは、すべての向きの 3 次元多様体の内部にあるトロイダル2 次元多様体上のいずれかの点になります。一般に、物体はこのトーラス上で非周期的な経路をたどりますが、周期的な経路をたどることもあります。物体フレーム内で軌道の周りを 1 サイクルするのにかかる時間は一定ですが、1 サイクル後に物体は有理数度ではない量だけ回転します。その場合、向きは周期的ではなく、ほぼ周期的になります。 ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

一般的に、トーラスは、3 つのパラメータによってほぼ決定されます。3 つのパラメータとは、3 つの慣性モーメントのうち最大のものに対する 2 番目と 3 番目の慣性モーメントの比率、および角運動量と最大の慣性モーメントのエネルギー倍数との比率です。ただし、このようなパラメータ セットには、2 つのトーラスがあります。これは、2 つの「タコス」(2 つのポロードに対応) があるためです。180° 回転のセットは、1 つのトーラスの任意の方向を、反対側の点が角運動量ベクトルと一直線になるように他のトーラスの方向に持ち込みます。角運動量が主軸と正確に一直線になっている場合、トーラスは 1 つのループに縮退します。2 つの慣性モーメントが正確に等しい場合 (いわゆる対称体)、トーラスに加えて無限の数のループが存在し、3 つの慣性モーメントがすべて等しい場合は、ループは存在しますがトーラスは存在しません。 3 つの慣性モーメントがすべて異なり、中間軸が角運動量と一致していない場合、方向は位相的な開いた環状空間上のいずれかの点になります。 ${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$

このため、角速度ベクトル (または角運動量ベクトル) が最大慣性軸または最小慣性軸に近くない場合、天体は「回転」します。ほとんどの衛星は、最大慣性軸の周りを多かれ少なかれ回転します (粘性効果による)。しかし、 ヒュペリオン(土星の衛星)、冥王星の 2 つの衛星、および太陽系の他の多くの小天体は回転します。

物体が中間主軸の上で回転している場合、楕円体と球体の交点は、その軸と一直線に並んだ 2 つの点で交差する 2 つのループのようになります。中間軸との位置合わせが完璧でない場合、物体は最終的にこの点から出発する 4 つのトラックの 1 つに沿ってこの点から離れ、反対の点に向かいます。これは、ポアンソ楕円体上の対蹠点への移動に対応します。右のビデオとテニスラケット定理を参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

この構成は、角速度ベクトルではなく角運動量ベクトルを考慮する点でポアンソの構成とは異なります。ジャック・フィリップ・マリー・ビネによって開発されたようです。^[要出典]${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

3 つの主軸の周りの慣性モーメントの値が異なる非対称物体の回転の一般的なケースでは、物体が主軸の周りを回転していない限り、回転運動は非常に複雑になる可能性があります。テニスラケット定理で説明されているように、物体の第 1 または第 3 主軸の周りの回転は安定していますが、第 2 主軸 (または中間軸) の周りの回転は安定していません。軸対称物体の場合、慣性モーメントが 2 つの主軸の周りの同じである場合、運動は単純化されます。これらのケースには、長球(アメリカン フットボールの形状) の回転、または扁平球(平らな球の形状) の回転が含まれます。この場合、角速度は円錐を描き、偏角は円です。この分析は、たとえば、惑星の回転の軸歳差運動(扁平球の場合) に適用できます。

ポアンソ作図の応用例の一つは、軌道上の宇宙船の回転を視覚化することです。^[3]

• ポアンソ (1834 年) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps、バシュリエ、パリ。
• Landau LD および Lifshitz EM (1976) Mechanics、第 3 版、Pergamon Press。ISBN 0-08-021022-8 (ハードカバー) およびISBN 0-08-029141-4 (ソフトカバー)。  
• ゴールドスタイン H. (1980)古典力学、第 2 版、アディソン・ウェズレー。ISBN 0-201-02918-9 
• Symon KR. (1971) Mechanics、第3版、Addison- Wesley。ISBN 0-201-07392-7 

• ステレオ 3D シミュレーションでのポアンソ構築 - オンラインで無料。