キュイジネール棒 を用いた、数6の2完全性 の実証数学 において、多重完全数 （多重完全数 または大完全数とも呼ばれる）は、 完全数 の一般化である。
与えられた自然数 k に対して、数nは、 n のすべての正の約数 の和(約数関数 σ ( n )) が kn に等しい場合、k 完全数k 重完全数 であるのは、それが2 完全数である 場合のみです 。あるkに対して k 完全 数である数は、乗法完全数と呼ばれます。2014 年現在、k が11 までの各値に対してk 完全数が知られています。 [ 1 ]
1以外の奇数の完全数が存在するかどうかは不明です。最初のいくつかの完全数は次のとおりです 。
1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240,14182439040, 4364925090, 8589869056 ... ( OEIS の シーケンス A007691 ) 。
例 120の約数の合計は
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 これは 3 × 120 です。したがって、120 は3 の完全 数です。
既知の最小のk 完全数 以下の表は、 k ≤ 11の場合の既知の最小のk 完全OEIS の シーケンス A007539 ) 。
不動産 以下のことが証明 できる。
与えられた素数 p に対して、nが p 完全数p が n を割り切らない場合、pnは ( p + である。これは、整数 n が2 で割り切れるが 4 で割り切れない3 完全数であるのは、 n /2 が奇数の完全数である場合のみであり、そのような奇数の完全数 は知られていないことを意味する。 3nが 4k完全 数 であり、3がn を nは 3k完全数 である。
奇数は完全数を掛け合わせる 数学における未解決問題
奇数で完全数を掛け合わせる数はありますか？
1以外の奇数の完全数が存在するかどうかは不明です。ただし、k > 2となる奇数の k 完全n が存在する場合、それは次の条件を満たさなければなりません。[ 2 ]
最大の素因数は ≥ 2番目に大きい素因数は 3番目に大きい素因数は 奇数の三完全数が存在する場合、それは 10 128 より大きい必要がある。[ 3 ]
トートは、素因数の 1 つが平方数であれば奇数多重完全数となるような数をいくつか発見した。例えば 8999757 は、素因数の 1 つである 61 だけが平方数であれば奇数多重完全数となる。[ 4 ] これはデカルト数 の概念と密接に関連している。
境界 小文字表記 では、 x より小さい完全数の個数はo （ x ε ） {\displaystyle o(x^{\varepsilon })} [ 2 ]
n ≤ x のk 完全数n の個数は以下より少ない。c x c ′ ログ ログ ログ x / ログ ログ x {\displaystyle cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}} c とc'は k に依存しない定数である。[ 2 ]
リーマン予想 の仮定の下では、 k > 3であるすべてのk 完全 数n に対して、次の不等式 が成り立つ。
ログ ログ n > k ⋅ e − γ {\displaystyle \log \log n>k\cdot e^{-\gamma }} どこγ {\displaystyle \gamma } はオイラーのガンマ定数 です。これはロビンの定理 を用いて証明できます。
k > 2であるk- 完全 数nの 約数 τ( n ) の数は、不等式[ 5 ]を満たす。
τ （ n ） > e k − γ 。 {\displaystyle \tau (n)>e^{k-\gamma }.} nの 異なる素因数 ω( n )の数は[ 6 ]
ω （ n ） ≥ k 2 − 1 、 もし n 奇妙だ {\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}-1,~~{\text{nが奇数の場合}}} ω （ n ） ≥ k 2 / 4 、 もし n さえ {\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}/4,~~{\text{nが偶数の場合}}} n の異なる素因数がp 1 、 p 2 、 … 、 p r {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}} [ 7 ]
r （ 3 / 2 r − 1 ） < ∑ 私 = 1 r 1 p 私 < r （ 1 − 6 / （ k π 2 ） r ） 、 もし n さえ {\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{nが偶数の場合}}} r （ k 2 3 r − 1 ） < ∑ 私 = 1 r 1 p 私 < r （ 1 − 8 / （ k π 2 ） r ） 、 もし n 奇妙だ {\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{nが奇数の場合}}}
k の具体的な値
完璧な数字 σ( n ) = 2nを 満たす数nは 完全 です。
3倍の完全数 σ( n ) = 3n を満たす数nは 三重完全数 である。既知の三重完全数は 6 つしかなく、これらがそのようなすべての数であると考えられている。
120、672、523776、459818240、1476304896、51001180160 （ OEIS の シーケンス A005820 ） 奇数の完全数m が存在する場合(有名な未解決問題 )、σ(2 m ) = σ(2)σ( m ) = 3×2 m となるため、2 m は 3 完全数になります。奇数の三重完全数は10 70 を超える平方数 で、少なくとも 12 個の異なる素因数を持ち、最大の素因数は 10 5 を超える必要があります。[ 8 ]
バリエーション
ユニタリは完全数を掛ける ユニタリ完全数 についても同様の拡張が可能である。正の整数n は、σ * ( n ) = kn （ ここで σ * ( n ) はその ユニタリ約数 の和）である場合、ユニタリ多重 k - 完全数 と 呼ばれる。ユニタリ多重完全数 は、ある正の整数k に対してユニタリ多重k - 完全 数である。ユニタリ多重2 - 完全数も ユニタリ完全数 と呼ばれる。
k > 2の場合、ユニタリな多重k 完全偶数 で 10 102 より大きく、少なくとも 45 個の奇数の素因数を持つ必要があることが知られています。[ 9 ]
最初のいくつかのユニタリ乗法完全数は次のとおりです。
1、6、60、90、87360 （ OEIS の配列 A327158 ）
双ユニタリは完全数を乗算する 正の整数n は 、 σ ** ( n ) = kn で、σ ** ( n ) がその双ユニタリ約数の和である場合、 双ユニタリ多重 k -完全 数 と呼ばれます。双ユニタリ多重完全数 は、ある正の整数k に対して双ユニタリ多重k - 完全 数です。[ 10 ] 2-完全数は 双ユニタリ完全数 とも呼ばれ、双ユニタリ多重3-完全数は 双ユニタリ三重完全数 と呼ばれます。
1987年、ピーター・ハギスは、1以外の奇数の双ユニタリ多重完全数は存在しないことを証明した。[ 10 ]
2020年に、HaukkanenとSitaramaiahは、 u が奇数である形式の2 a u の双ユニタリ三重完全数を研究した。彼らは1 ≤ a ≤ 6とa = 8の場合を完全に解決し、a = 7の場合を部分的に解決した。 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
2024年、山田智弘は、2160が27 = 3 3 で割り切れる唯一の双ユニタリ三完全数であることを証明した。[ 17 ] aで uが 3で割り切れない形式の3 a u のすべての双ユニタリ三完全数を見つけたことを意味する。
最初のいくつかの双ユニタリ完全数は次のとおりです。
1、6、60、90、120、672、2160、10080、22848、30240 （ OEIS の 配列 A189000 ）
参考文献 1 2 3 4 5 Flammenkamp, Achim. 「完全数の乗算ページ」 . 2014年 1月22日 取得 . 1 2 3 サンダー、ミトリノビッチ、 クリスティシ、2006 年 、p. 105 ↑ Sorli, Ronald. "多重完全数と奇数完全数の研究におけるアルゴリズム" (PDF) . シドニー工科大学. 2025年 7月11日 取得 . ↑ トート (2025) ↑ Dagal, Keneth Adrian P. (2013). "k-多重完全数に対するτ(n)の下限". arXiv : 1309.3527 [ math.NT ]. ↑ McCarthy, Paul J. (1957). 「完全数と完全倍数に関する注記」 . Portugal Math . 16 : 19–21 . ↑ ベンチェ、ミハイ (2014)。 「k-完全数について」 (PDF) 。 アン。 Şt.大学オヴィディウス・コンスタンツァ 。 22 (1): 45–50 . 土井 : 10.2478/auom-2014-0005 。 ↑ サンダー、ミトリノヴィッチ、 クリスティシ、2006 年、 108 ～ 109 ページ ↑ Hagis Jr., Peter (1984). "Lower Bounds for Unitary Multiperfect Numbers" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 22 (2): 140– 143. doi : 10.1080/00150517.1984.12429905 . 2025年 7月10日 取得 . 1 2 Hagis Jr., Peter (1987). "Bi-Unitary Amicable and Multiperfect Numbers" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 25 (2): 144– 150. doi : 10.1080/00150517.1987.12429711 . 2025年 7月10日 取得 . ↑ ハウカネン& シタラマイア 2020a ↑ ハウカネン& シタラマイア 2020b ↑ ハウカネン& シタラマイア 2020c ↑ ハウカネン＆ シタラマイア 2020d ↑ ハウカネン& シタラマイア 2021a ↑ ハウカネン& シタラマイア 2021b ↑ 山田智弘 (2024). 「ある形式のすべての双単位三完全数を決定する」. arXiv : 2406.19331 [ math.NT ].
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外部リンク 完全数の乗算ページ 素数用語集：完全数の乗算 YouTube の 「The Six Triperfect Numbers」
![{\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{nが偶数の場合}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44849c51c916522c39888be808110d2175118cdd)
![{\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{nが奇数の場合}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14ab363496c148721680c431a26a3db3dfc267a)