並進対称性

物理学と数学において、連続並進対称性は、任意の並進（回転なし）に対する方程式系の不変性です。離散並進対称性は、離散並進に対して不変です。

同様に、関数の演算子 Aは、引数の関数が平行移動してもAを適用した結果が変わらない場合、平行移動演算子に関して平行移動不変であると言われる。より正確には、次のことが成り立つ必要がある。 ${\displaystyle T_{\delta}}$$${\displaystyle \forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).}$$

物理法則は、空間内の異なる点を区別しない場合、空間並進に対して並進不変です。ノイマンの定理によれば、物理システムの空間並進対称性は、運動量保存則と同等です。

オブジェクトの並進対称性とは、特定の並進によってオブジェクトが変化しないことを意味します。特定のオブジェクトの場合、これに適用される並進はグループ、つまりオブジェクトの対称グループを形成します。オブジェクトに複数の種類の対称性がある場合は、対称グループのサブグループを形成します。

並進不変性は、少なくとも 1 つの方向において、オブジェクトが無限であることを意味します。つまり、任意の点pに対して、並進対称性により同じ特性を持つ点の集合は、無限離散集合{ p + n a | n ∈ Z } = p + Z a を形成します。基本領域は、例えば、a が独立した方向を持つ任意の超平面Hに対してH + [0, 1] aです。これは、1D では線分、2D では無限のストリップ、3D ではスラブであり、一方の側から始まるベクトルはもう一方の側で終わります。ストリップとスラブはベクトルに垂直である必要はなく、ベクトルの長さよりも狭くまたは薄くてもよいことに注意してください。

次元が 1 より大きい空間では、複数の並進対称性が存在する場合があります。k 個の独立した並進ベクトルの各セットに対して、対称群はZ ^kと同型です。特に、多重度は次元に等しい場合があります。これは、オブジェクトがすべての方向に無限であることを意味します。この場合、すべての並進の集合は 格子 を形成します。並進ベクトルの異なる基底が同じ格子を生成するのは、行列式の絶対値が1 である整数係数の行列によって一方が他方に変換される場合のみです。並進ベクトルの集合によって形成される行列の行列式の絶対値は、集合が対象とするn次元平行六面体の超体積(格子の共体積とも呼ばれる) です。この平行六面体は対称性の基本領域です。その上または内部の任意のパターンが可能であり、これがオブジェクト全体を定義します。格子 (群)も参照してください。

たとえば 2D では、 aとb の代わりに、aとa − bなども使用できます。一般に 2D では、ps − qrが 1 または −1 となるような整数p、q、r、sに対して、 p a + q bおよびr a + s b を使用できます。これにより、aとb自体が他の 2 つのベクトルの整数線形結合であることが保証されます。そうでない場合、他のペアではすべての変換が可能であるとは限りません。各ペアa、b は平行四辺形を定義します。すべて同じ面積、つまり外積の大きさを持ちます。1 つの平行四辺形は、オブジェクト全体を完全に定義します。それ以上の対称性がなければ、この平行四辺形は基本領域です。ベクトルaとb は複素数で表すことができます。2 つの格子点が与えられた場合、格子形状を生成するための 3 番目の点の選択の同値性は、モジュラー群によって表されます。 格子 (群)を参照してください。

あるいは、たとえば長方形は、2 つの辺が 1 つの移動ベクトルに平行であり、長方形の 1 つの辺から始まる他の移動ベクトルが反対側で終了する場合、移動ベクトルが垂直でなくても、オブジェクト全体を定義できます。

たとえば、非対称パターンを持つ等しい長方形のタイルが並んでいるタイル張りを考えてみましょう。タイルはすべて同じ向きで、各列でタイルの半分ではなく、常に同じ割合だけシフトすると、並進対称性のみが得られ、壁紙グループp 1になります (シフトがない場合も同じです)。タイルのパターンの回転対称性が 2 の順序である場合は、 p 2 になります (タイルの配置のため、タイルのパターンの対称性が高くなっても、これは変わりません)。長方形は、タイルの一部と別のタイルの一部で構成される平行四辺形よりも、基本ドメイン (または 2 つのタイルのセット) として考えるのに便利な単位です。

2D では、任意の長さのベクトルに対して 1 つの方向に並進対称性が存在する場合があります。同じ方向ではない 1 本の線が、オブジェクト全体を完全に定義します。同様に、3D では、任意の長さのベクトルに対して 1 方向または 2 方向に並進対称性が存在する場合があります。1 つの平面 (断面) または線が、それぞれオブジェクト全体を完全に定義します。

• フリーズパターンにはすべて並進対称性があり、場合によっては他の種類の対称性もあります。
• 絶対値の計算を伴うフーリエ変換は、変換不変演算子です。
• 多項式関数から多項式次数へのマッピングは、変換不変関数です。
• ルベーグ測度は完全な並進不変測度です。

• グライド反射
• 変位
• 周期関数
• ラティス（グループ）
• 変換演算子（量子力学）
• 回転対称性
• ローレンツ対称性
• テッセレーション
• サイクルのリスト § 波とサイクルの数学

• Stenger, Victor J. (2000) および MahouShiroUSA (2007) 。Timeless Reality。Prometheus Books。特に第 12 章。非技術的。