超限数

数学において、超限数または無限数は、すべての有限数より大きいという意味で「無限」な数である。これには、無限集合の大きさを定量化するために使用される基数である超限基数や、無限集合の順序付けに使用される順序数である超限順序数が含まれる。 ^{[1] [2]}超限という用語は、1895年にゲオルク・カントールによって造られた。 [ ^{3] [4] [5] [6]カントールは、}有限ではないにもかかわらずこれらのオブジェクトに関連して無限という言葉が持つ意味合いの一部を避けたいと考えた。^{[要出典]現代の著述家たちの中にはこうした懸念を共有する人はほとんどおらず、現在では超限基数と順序数を}無限数と呼ぶことが慣例となっている。しかし、超限という用語は今でも使用されている。

超限数に関する注目すべき研究は、ヴァツワフ・シェルピンスキによるものである。1928年に出版された『超限数に関する講義』は、 『基数と序数』（1958年、^[7]第2版、1965年^[8]） へと大幅に拡張された。

有限の自然数は、少なくとも 2 つの方法で使用できます。順序数と基数です。基数は集合の大きさ (例: 5 個のビー玉が入った袋) を指定しますが、順序数は順序付けられた集合内の要素の順序を指定します^[9] (例: 「左から3 番目の男性」または「1 月27日」)。超限数に拡張すると、これら 2 つの概念は1 対 1で対応しなくなります。超限基数は無限に大きい集合の大きさを表すために使用され^[2] 、超限順序数は順序付けられた無限に大きい集合内の位置を表すために使用されます^{[9] [検証失敗]} 最も有名な順序数と基数は、それぞれ次のとおりです。

• ${\displaystyle \omega}$(オメガ): 最小の超限順序数。これは、通常の線形順序付けにおける自然数の順序型でもあります。
• ${\displaystyle \aleph_{0}}$(アレフヌル): 最初の超限基数。これは自然数の基数でもあります。選択公理が成り立つ場合、次に大きい基数はアレフ 1です。そうでない場合は、アレフ 1 と比較できず、アレフヌルよりも大きい他の基数が存在する可能性があります。どちらにしても、アレフヌルとアレフ 1 の間に基数は存在しません。${\displaystyle \aleph_{1}.}$

連続体仮説は、と連続体の濃度（実数集合の濃度）の間に中間の基数は存在しないという命題である： ^[2]またはそれと同等に、それは実数集合の濃度である。ツェルメロ-フランケル集合論では、連続体仮説もその否定も証明できない。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

P. Suppes や J. Rubin などの一部の著者は、これが「無限基数」と同等ではない可能性があるコンテキスト、つまり可算選択公理が想定されていないか、保持されることが知られていないコンテキストで、デデキント無限集合の基数を指すために超限基数という用語を使用しています。この定義では、以下はすべて同等です。

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$は超限基数である。つまり、デデキント無限集合が存在し、その基数は${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph_{0}\leq {\mathfrak{m}}.}$
• 次のような基数が存在する${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

超限順序数と基数はどちらも自然数のみを一般化しますが、超実数や超実数などの他の数体系は実数の一般化を提供します。^[10]

カントールの順序数理論では、すべての整数には必ず後続の整数がなければならない。^[11]すべての通常の整数の次の整数、つまり最初の無限整数は と呼ばれる。この文脈では、は より大きく、 、およびはさらに大きい。 を含む算術式は順序数を指定し、 はその数までのすべての整数の集合と考えることができる。一般に、与えられた数を表す式は複数あるが、それを表す唯一のカントール標準形が存在する。^[11]本質的には の降順の係数を与える有限の数字列である。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega \cdot 2}$${\displaystyle \omega^{2}}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

ただし、すべての無限整数がカントール正規形で表せるわけではなく、表せない最初のものは極限 で与えられ、 と呼ばれます。^[11]は の最小の解であり、次の解はさらに大きな順序数を与え、の最初の解である極限 に達するまでたどることができます。これは、すべての超限整数を指定できるようにするには、名前の無限列を考え出さなければならないことを意味します。なぜなら、単一の最大の整数を指定すれば、常にそれより大きい次の整数を指定できるからです。しかし、カントールが指摘したように、^[要出典]これでさえ、超限数の最低クラス、つまり集合のサイズが基数 に対応するクラスにしか到達できません。 ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$${\displaystyle \varepsilon_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon_{0}}$${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \aleph_{0}}$

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• レヴィ、アズリエル、2002 ( 1978)基本集合論。ドーバー出版。ISBN 0-486-42079-5 
• O'Connor, JJ および EF Robertson (1998)「Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor」、MacTutor 数学史アーカイブ。
• Rubin, Jean E.、1967 年。「数学者のための集合論」サンフランシスコ: Holden-Day。モース-ケリー集合論に基づく。
• ルディ・ラッカー、2005年（1982年）『無限と心』プリンストン大学出版。主にカンターの楽園の哲学的意味合いの探求。ISBN 978-0-691-00172-2。 
• Patrick Suppes 、 1972 (1960)「公理的集合論」。ドーバー。ISBN 0-486-61630-4。ZFCに基づく。