イプシロン数

数学において、イプシロン数は、指数写像の 不動点であるという定義特性を持つ超限数の集合である。したがって、選択された指数写像の有限級数や、加算や乗算などの「弱い」演算を適用しても、0 からは到達できない。元々のイプシロン数は、ゲオルク・カントールが序数算術の文脈で導入したものであり、次式を満たす序数εである。

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

ここでωは最小の無限順序数です。

そのような最小の順序数はε ₀ (イプシロン ノート(主にイギリス英語)、イプシロン ノート(主にアメリカ英語)、またはイプシロン ゼロと発音) であり、これは、より小さな極限順序数のシーケンスから超限再帰によって得られる「極限」と見なすことができます。

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\}\,,}$

ここで、sup は上限であり、順序数のフォン・ノイマン表現の場合の 集合の和集合に相当します。

指数写像のより大きな順序数の不動点は、順序数の添え字によってインデックス付けされ、結果として となる。^[1] 順序数ε ₀は、インデックスが可算な任意のイプシロン数と同様に、依然として可算 である。不可算順序数も存在し、インデックスが不可算順序数である不可算イプシロン数も存在する。 ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$

最小のイプシロン数ε _{0 は}多くの帰納法の証明に現れる。なぜなら、多くの目的において超限帰納法はε ₀までしか必要とされないからである（ゲンツェンの無矛盾性証明やグッドスタインの定理の証明のように）。ゲンツェンがこれをペアノ算術の無矛盾性を証明するために使用したことは、ゲーデルの第2不完全性定理とともに、ペアノ算術がこの順序付けの整根拠を証明できないことを示している（これは実際、この性質を持つ最小の順序数であり、そのため、証明論的 順序数解析では、ペアノ算術の理論の強さの尺度として使用される）。

ヴェブレン関数を使用すると、より大きなイプシロン数を多数定義できます。

より一般的なイプシロン数のクラスは、ジョン・ホートン・コンウェイとドナルド・クヌースによって超実数系で特定されており、基底 ω 指数写像x → ω ^xの不動点であるすべての超実数から構成されます。

ヘッセンベルク (1906) は、ガンマ数 (加法的に分解不可能な順序数を参照) をγ > 0でα < γの場合はα + γ = γとなる数と定義し、デルタ数 (乗法的に分解不可能な順序数を参照) をδ > 1で0 < α < δの場合はαδ = δ となる数と定義し、イプシロン数ε > 2で1 < α < εの場合はα ^ε = ε となる数と定義しました。彼のガンマ数はω ^{β の}形式であり、デルタ数はω ^{ω β}の形式です。

底 α の 順序指数の標準的な定義は次のとおりです。

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$直前の先行タスクがある場合。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$が極限順序数である場合に限ります。${\displaystyle \beta }$

この定義から、任意の固定順序数α > 1に対して、マッピングは 正規関数 となり、正規関数 の不動点補題により、任意の大きさの不動点を持つことがわかります。 のとき、これらの不動点はまさに順序数イプシロン数です。 ${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$${\displaystyle \alpha =\omega }$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$直前の先行タスクがある場合。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$は、常に極限順序数です。${\displaystyle \beta }$

なぜなら

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

0 から始めてε _{0 を}底として累乗すると、同じ上限を持つ異なる数列が得られます。 ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

一般に、直前の順序数を持つ任意の順序数でインデックス付けされたイプシロン数は、同様に構築できます。 ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta -1}$

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

特に、指数 β が極限順序数であるかどうかは、すべての順序数に対して、底 ω の累乗だけでなく底 δ の累乗の不動点でもあります。 ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$

イプシロン数は順序数の無限サブクラスなので、順序数自体を使用して列挙されます。任意の順序数 に対して、は集合 にまだ含まれていない最小のイプシロン数 (指数写像の不動点) です。これは、反復累乗を使用した構成的定義の非構成的等価であるように見えるかもしれませんが、2 つの定義は、指数級数の上限を取るよりも高次の超限再帰を表す極限順序数でインデックス付けされたステップでは同様に非構成的です。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$

イプシロン数に関する次の事実は簡単に証明できます。

• は非常に大きな数ですが、可算順序数の可算和であるため、依然として可算です。実際、が可算なのは が可算な場合のみです。${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta }$
• 空でないイプシロン数の集合の和集合（または最大値）はイプシロン数です。たとえば、イプシロン数もイプシロン数です。したがって、マッピングは正規関数です。$${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$
• 任意の不可算基数の最初の順序数はイプシロン数です。 $${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

任意のイプシロン数 ε はカントール正規形を持つため、カントール正規形はイプシロン数にはあまり役立ちません。ただし、 ε ₀未満の順序数は、カントール正規形によって有用に記述することができ、これにより、 ε ₀は、次のように、すべての有限根付き木の順序付き集合として表現されます。任意の順序数はカントール正規形を持ちます。ここで、k は自然数であり、 を持つ順序数であり、 によって一意に決定されます。各順序数は、同様にカントール正規形を持ちます。α を表す有限根付き木は、 を表す木の根を新しい根に結合することによって得られます。(この結果、数 0 は単一の根で表され、数は根と単一の葉を含む木で表されることになります。)有限根付き木の集合の順序は再帰的に定義されます。つまり、まず、根に結合する部分木を降順に並べ替え、次にこれらの部分木の順序付きシーケンスに対して辞書式順序を使用します。このようにして、すべての有限根付き木の集合は、ε ₀と順序同型の整列集合になります。 ${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$

この表現は、順序数の減少シーケンスをグラフ理論ゲームとして表すヒドラ定理の証明に関連しています。

「イプシロン写像」の不動点は正規関数を形成し、その不動点は正規関数を形成します。これはヴェブレン階層（底φ ₀ ( α ) = ω ^αのヴェブレン関数）として知られています。ヴェブレン階層の表記では、イプシロン写像はφ ₁であり、その不動点はφ ₂で列挙されます。 ${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$

この流れを続けると、次第に大きくなる順序数 α (この希薄化された形式の超限再帰により、極限順序数を含む) に対して、次第に大きくなる最小の不動点φ _{α +1} (0)を持つ_{写像 φ} αを定義できます。この手順で 0 から到達できない最小の順序数、つまりφ _α (0) = αとなる最小の順序数 α 、または同等に写像の最初の不動点は、フェファーマン–シュッテ順序数Γ ₀です。このような順序数が存在することが証明できる集合論では、 の不動点Γ ₀、Γ ₁、Γ ₂、... を列挙する写像Γがあります。これらはすべて依然としてイプシロン数であり、イプシロン数を列挙する 写像φ ₁を含め、すべてのβ ≤ Γ _{0に対して}φ _βの像に含まれる。${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$

超実数に関する古典的な解説書である『数とゲームについて』で、ジョン・ホートン・コンウェイは、順序数から超実数への自然な拡張を持つ概念の例をいくつか示しました。そのような関数の 1 つが-写像です。この写像は、その定義域にすべての超実数を含むように自然に一般化され、その結果、超実数のカントール標準形の自然な一般化が提供されます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$

この拡大写像の任意の不動点は、それが厳密に順序数であるかどうかに関わらず、イプシロン数であるとみなすのが自然である。非順序数イプシロン数の例としては、

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

そして

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

すべての超実数nに対してを定義する自然な方法があり、マップは順序を保存したままです。コンウェイはさらに、イプシロン数を特に興味深いサブクラスとして含む、より広いクラスの「既約」超実数を定義します。 ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$

• 序数演算
• 大きな可算順序数