Thue方程式

数学において、トゥエ方程式は、次の形式の ディオファントス方程式である。

$${\displaystyle f(x,y)=r,}$$

ここで、は有理数上の少なくとも 3 次である既約な二変量形式であり、は非ゼロの有理数です。これは、1909 年にThue 方程式が整数およびに対して有限個の解しか持たないことを証明したAxel Thueにちなんで名付けられました。この結果は Thue の定理として知られています。^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Thue方程式は効果的に解くことができます。つまり、定数およびが形式 のみに依存する場合の形式の解 に明示的な境界があります。より強力な結果が成り立ちます。が の根によって生成される体である場合、方程式にはおよびの整数を持つ有限個の解しか存在せず、これらも効果的に決定できます。^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (C_{1}r)^{C_{2}}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$

Thue が、彼の名を冠した方程式に有限個の解があることを最初に証明したのは、現在Thue の定理として知られる証明によるものでした。この定理は、次数を持つ任意の代数的数と任意の に対して、 となる互いに素な整数は有限個しか存在しないと主張しています。この 定理を適用すると、解の有限性をほぼ即座に推論できます。しかし、Thue の証明、およびその後のSiegel、Dyson、およびRothによる改良は、すべて効果がありませんでした。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle |\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}}$

Thue方程式のすべての解を見つけることは実用的なアルゴリズム^[3]によって達成することができ、それは以下のコンピュータ代数システムに実装されています。

• PARI/GPでは関数thueinit()およびthue()として使用されます。
• Magmaでは関数ThueObject()およびThueSolve()として使用されます。
• MathematicaでReduce[]を介して
• MapleでThueSolve()を介して

Thue 方程式を解く効果的な方法はいくつかありますが ( Baker 法や Skolem のp進法の使用を含む)、これらの方法では解の数に関する最良の理論的境界を与えることはできません。Thue方程式の有効な境界は、それが依存するパラメータと、その依存性がどの程度「良好」であるかによって決まります。 ${\displaystyle C(f,r)}$${\displaystyle f(x,y)=r}$

今日知られている最良の結果は、本質的にはボンビエリとシュミットの先駆的な研究に基づくものであり、^[4]は の形の上界を与えます。ここで は絶対定数(つまり、との両方に依存しない)であり、は の異なる素因数の個数です。ボンビエリとシュミットの定理に対する最も重要な質的改善はスチュワート^[5]によるもので、彼は の形の上界を得ました。ここで はの約数で、絶対値が を超えるものです。上界 、つまりの次数のみに依存し、その係数には依存せず、方程式の右辺の整数にはまったく依存しない上界 を取ることができると推測されます。 ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega (\cdot )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|^{3/4}}$${\displaystyle C(f,r)=C(\deg f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

これはスチュワート予想の弱い形式であり、有理点 に対する一様有界性予想の特殊なケースである。この予想は「小さな」整数 に対して証明されており、小ささは形式 の判別式で測定され、エバートセ、スチュワート、アクターリなどさまざまな著者によって証明されている。スチュワートとシャオはこの予想の強い形式を示し、解の数は絶対的に有界であり、平均して成り立つ（が の区間にわたる範囲として）と主張した。^[6]${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|\leq Z}$${\displaystyle Z\rightarrow \infty }$

• ロスの定理
• ファルティングスの定理

• ベイカー、アラン;ヴュストホルツ、ギスバート(2007)。対数形式とディオファントス幾何学。新数学モノグラフ。第 9 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88268-2。