バスケットハンドルアーチ

バスケットハンドル アーチは、隣接する円弧に接する一連の円弧で形成される内接プロファイルを特徴とし、円弧間の遷移が滑らかになります。最も単純な形式である 3 中心アーチは、異なる中心を持つ 3 つの円弧セグメントで構成されますが、5 中心アーチもよく使用されます。^[1]このタイプのアーチは、特に橋梁建設において、建築用途で広く使用されています。バスケット ハンドル アーチの形状は半楕円に似ており、^[2]長軸の端から短軸の頂点まで変化する連続した曲率を特徴としています。このアーチは、独特の曲率と構造機能を強調するために、凹型アーチまたはバスケット アーチとも呼ばれます^[3]。^[4]

ローマ時代以来、橋のヴォールトは半円アーチで造られ、完全な半円周を形成してきた。中世初期以降は、開口部の高さの半分以下のヴォールトを造るために、不完全な半円周の分節アーチが使用されるようになった。^[5]

尖頭アーチは開口部の半分以上まで高くすることで高さを強調するが、中世まで橋の建設には使われなかった。^[5]

バスケットハンドルアーチはルネッサンス初期に登場し、端部のアーチが支柱に対して垂直に接していることなどにより、セグメントヴォールトよりも美的な利点があった。 ^[5]

フランスにおけるバスケットハンドルアーチの最も古い応用例は、16世紀に建設されたトゥールーズのポンヌフと、その次の世紀のポンロワイヤルに見ることができます。 ^[6]

18世紀までに、バスケットハンドルアーチの使用が普及し、特に3つの中心を持つ橋が普及しました。その例として、ヴィジーユ、ラヴォール、ジニャック、^[7] ブロワ（1716-1724年）、オルレアン（1750-1760年）、ムーラン（1756-1764年）、ソーミュール（1756-1770年）の橋が挙げられます。^[6]

著名な建築家ジャン＝ロドルフ・ペロネは、18世紀後半にマント（1757年 - 1765年）、ノジャン（1766年 - 1769年）、ヌイイ（1766年 - 1774年）などの11のセンターを持つ橋を設計しました。トゥール橋（1764年 - 1777年）も11のセンターが特徴です。他のアーチは一般的に3分の1かそれ以上に縮小されましたが、^[6]ヌイイだけは4分の1に縮小されました。

19 世紀には、バスケットハンドル アーチは、サンク マルス橋 (1846 年 - 1847 年)、ポール ド ピル橋 (1846 年 - 1848 年)、モランディエール橋:モンルイ(1843 年 - 1845 年)、プレシ レ トゥール (1855 年 - 1857 年) など、フランス初の主要な鉄道橋に使用されました。

イングランドでは、グロスター橋（1826-1827年）^[8]とロンドン橋（1824-1831年）^[9]は楕円形であったが、ロンドンのウォータールー橋（1816-1818年）はバスケットハンドルアーチの形状を維持した。^[6]

バスケットハンドルアーチは、19世紀後半から20世紀初頭にかけても数多く建設され続けました。注目すべき例としては、3つのセンターを持つボルチモアのエドモンソンアベニュー橋（1908年 - 1909年）^{[10] 、} 5つのセンターを持つアニバル橋（1868年 - 1870年）[11]とデビルズブリッジ（1870年 - 1872年）^[12]、7つのセンターを持つプラハのエンペラーフランシス橋（1898年 - 1901年）^[13]、19のセンターを持つシニャック橋（1871年 - 1872年）^{[14]などがあります。}

アメリカ合衆国では、バスケットハンドルアーチを特徴とするトーマス高架橋が1833年から1835年にかけて建設されました。 ^{[15]現在は}CSXトランスポーテーションが所有・運営しており、現在も使用されている最古の鉄道橋の一つです。

古代の建築家は、バスケットハンドルアーチの輪郭を定義するために使用された方法をかなり重視していました。これらのプロセスに固有の柔軟性により、さまざまな構成が可能になり、多くの建築家が、幾何学的原理によって輪郭が厳密に決定される楕円よりもこのタイプの曲線を好みました。^[16]

楕円形の場合、アーチの開口部と中心の高さ（長軸と短軸に対応）は、内曲線に沿って固定された点となり、建築上の変更の余地がなくなります。逆に、多中心曲線は設計の自由度が高く、中心の配置に応じて、建築家が曲線の底部と頂点を好みに合わせて調整できます。この適応性により、バスケットハンドルアーチは、美的柔軟性を求める人々にとって魅力的な選択肢となりました。^[16]

このレイアウト手法の利点は非常に大きく、実物大の溝の設置がより容易かつ正確であると認識され、現場で法線とセグメントジョイントのレイアウトを即座に行うことができるようになった。^[17]

石の形状の数は、使用される異なる半径の数によって制限されますが、楕円形のアーチの場合、この数は通常、石の数の半分に1を加えた数に等しくなります。^[17]

しかし、配置の不連続性により、見苦しい石が出現し、修復作業中に必ずしも除去できるとは限りませんでした。^[17]

バスケットハンドルアーチは古代には橋のヴォールトには使われなかったが、他のタイプのヴォールトの建設には応用された。紀元より1世紀以上前に数学論文を著したアレクサンドリアのヘロンは、このアーチをトレースする簡単な方法を概説した。 ^[18]

ヘロンの方法では、AB が意図するヴォールトの幅を表し、高さ (または上昇) が未定である場合、AB 上に半円周が描かれます。この円弧上の点 C を通る垂直線 OC が描かれ、点 C で接線mn が構築されます。長さ Cm と Cn は円弧の半径の半分に等しいとされます。点 mO と点 nO を結ぶと、点 D と点 E が確立されます。次に、底辺がアーチの高さに等しい二等辺三角形 DOE が描かれます。次に、線分 DA が 4 つの等しい部分に分割され、これらの分割点 (a、b、c) を通って DO への平行線が描かれます。これらの平行線と水平軸 AB および延長された垂直軸 CO との交点は、AB に沿って 3 つの中心を持つさまざまな曲線を描くために必要な中心を生み出します。これはしばしば古代の楕円と呼ばれます。^[18]

バスケットハンドルアーチが橋の建設でより一般的になるにつれて、それをトレースするための多くの手順が登場し、使用される中心の数が増加しました。^[19]目的は、審美的に美しい輪郭を持つ完全に連続した曲線を作成することでした。問題の不確定な性質を考慮して、望ましい結果を得るために特定の条件が恣意的に課されることがよくありました。

たとえば、曲線を構成する円弧は中心で等しい角度に対応しなければならないと認められることもあれば、これらの円弧の長さが等しくなければならないと認められることもありました。さらに、角度の振幅または連続する半径の長さは、特定の比率に従って変化することが認められていました。

アーチの降下と、内曲線を描くために使用される中心の数との間の一貫した比率も確立されました。この降下は、上昇 (b) とアーチの幅 (2a) の比率で測定され、b/2a と表されます。許容される比率は、3 分の 1、4 分の 1、または 5 分の 1 などですが、比率が 5 分の 1 を下回る場合は、バスケット ハンドル アーチまたは楕円よりも円弧が一般的に好まれます。より急な傾斜の場合は、少なくとも 5 つの中心を使用することをお勧めしますが、ヌイイ橋の曲線に見られるように、最大​​ 11 の中心を使用する設計や、シニャック橋の場合は最大 19 の中心を使用する設計もあります。中心の 1 つは常に垂直軸上に配置する必要があるため、残りの中心は対称的に配置され、中心の合計数が奇数になります。

3つの中心を持つ曲線を構築するために、ホイヘンスは等しい角度、具体的には60度の角度に対応するさまざまな半径の円弧をトレースする方法を概説しています。^[20]

まず、AB を開口部、OE をアーチの矢印とします。中心点 O から、半径 OA の円弧 AMF を描きます。円弧 AM は円周の 6 分の 1 とみなされ、その弦は半径 OA と等しくなります。弦 AM と MF を描き、続いて点 E を通る線 Em を描きます。この線は、MF と平行で、短軸の終点です。

弦 AM と Em の交点が、最初の円弧の境界である点 m を決定します。MO に平行な線 mP を引くと、点 n と点 P が構築に必要な 2 つの中心として確立されます。3 番目の中心 n は、軸 OE から n'O (nO に等しい) の距離に配置されます。

図を分析すると、曲線は3つの円弧（Am、mEm'、m'B）で構成されており、中心Anm、mPm'、m'n'Bで等しい角度に対応し、すべて60度であることがわかります。^[20]

チャールズ・ボサットは、プロセスを簡素化する、3 中心曲線をトレースするためのより効率的な方法を提案しました。

この方法では、AB は開口部、OE はアーチの矢印を表し、曲線の長軸と短軸として機能します。まず、線分 AE が描かれます。点 E から、OA と OE の差に等しい線分 EF' が取られます。次に、AF' の中点 m から垂線が描かれます。この垂線が長軸と短軸の延長線と交差する点 n と点 P は、建設に必要な 2 つの中心として機能します。^[21]

同じ開口部と上昇を使用する場合、この方法で生成される曲線は、以前の手法で生成された曲線との偏差が最小限に抑えられます。

3 つ以上の中心を持つ曲線の場合、ベラール、ジャン＝ロドルフ・ペロネ、エミラン・ゴーテなどが示した方法は、ヌイイ橋の場合と同様に、試行錯誤で進めるというものでした。

任意のデータに従って最初の近似曲線をトレースし、その要素を多かれ少なかれ確実な公式を使用して修正し、長軸と短軸の端を正確に通過するようにします。

1831 年に発表された論文で、数学者ミハルは曲線構築の問題を科学的なアプローチで取り上げました。彼は 5、7、9 の中心を持つ曲線を描くために必要なデータを含む表を作成し、試行錯誤を必要とせずに正確な結果を達成しました。

ミハルの計算方法は、中心がいくつあっても曲線に適用できる。彼は、この問題を解決するのに必要な条件は、ある程度恣意的になり得ると指摘した。これに対処するために、彼は、等角の円弧または等長の円弧のいずれかを使用して曲線を構築することを提案した。しかし、これらの円弧の半径を完全に決定するために、半径は各円弧の中点を中心とする楕円の曲率半径に対応している必要があると仮定した。この場合、開口部が長軸、上昇部分が短軸として機能する。^[22]

中心の数が増えると、結果として得られる曲線は同じ開口部と傾斜を持つ楕円形に近づきます。

次の表は、バスケットハンドルアーチの構造を示しています。これは、それを構成するさまざまな弧によって囲まれた等しい角度が特徴です。初期半径の比例値は、測定単位として開口部の半分を使用して計算されます。さらに、オーバーハングは、矢印（アーチの最高点から端点を結ぶ線までの垂直距離）と全開口部の比率として定義されます。^[22]

提供されている表を使用すると、5、7、または 9 つの中心を使用して、指定された開口部を持つバスケット ハンドル アーチを簡単に構築できるため、複雑な計算を行う必要がありません。唯一の条件は、ドロップが Michal によって提案された値のいずれかに一致する必要があることです。

たとえば、中心が 7 つあり、開口部が 12 メートル、勾配が 4 分の 1 (または 0.25) の 3 メートルの曲線を描く場合、最初の半径と 2 番目の半径は次のように計算されます。6×0.265 と 6×0.419 で、結果はそれぞれ 1.594 メートルと 2.514 メートルになります。

曲線を ABCD というラベルの付いた長方形内に内接させるには、まず線分 AB 上に直径となる半円を描き、それを 7 つの等しい部分に分割します。次に弦 Aa、ab、bc、cd をトレースします。弦 cd は半分割を表します。

AB軸上で、点Aから1.590メートルの長さを測り、最初の中心m _{1を定める。この点を通る半径O a}の平行線を引き、点nで弦Aaと交差させ、最初の円弧の終点とする。点nから2.514メートルの長さnm ₂を測り、2番目の中心m _{2を特定する。点m 2から}半径O _bの平行線を引き、点nから弦abと平行な線を引く。これら2本の平行線が点n′で交差する位置が、2番目の円弧の終点となる。^[23]

このプロセスを続けると、点 n′ を通って弦 bc に平行線が引かれ、点 E からは弦 cd に平行線が引かれる。点 n′ でのこれら 2 本の線の交点は、半径 O _{cに平行線を引くのに使われる。この線が半径 n′m 2}の延長線と垂直軸と交差する点 m ₃と m _{4は、第 3 と第 4 の中心になる。最後の 3 つの中心 m 5}、 m ₆、 m _{7 は、最初の 3 つの中心 m 1}、 m ₂、 m ₃に対して対称的に位置する。^[24]

図に示されているように、円弧 An、nn′、n′n′ などは、中心で等しい角度、具体的には 51° 34' 17" 14' を囲んでいます。さらに、AB を長軸、OE を短軸として半楕円を描くと、円弧と同じ角度内に含まれる半楕円の円弧は、円弧自体の曲率半径と同じ曲率半径を持つことがわかります。

この方法は、5 つ、7 つ、または 9 つの中心を持つ曲線を簡単に構築できることを示しています。

ミハル氏の貢献に続いて、ポン・エ・ショセ社の主任エンジニアであるルルージュ氏によってこのテーマがさらに研究されました。ルルージュ氏は、3、5、7、さらには最大 15 の中心を持つ曲線を構築するための表を開発しました。

彼のアプローチは、連続する半径が等差数列に従って増加する必要があるという点で、ミハルの方法論とは異なります。この要件は、半径の間に形成される角度が必ずしも等しい必要がないことを意味し、曲線の設計にさらなる柔軟性をもたらします。

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