三角図

三角図、三角グラフ、三角図、単体図、ギブス三角形は、定数の合計となる3つの変数の重心 図です。 ^[1]これは、3つの変数の比率を正三角形内の位置としてグラフィカルに表します。これは、物理化学、岩石学、鉱物学、冶金学、およびその他の物理科学で、3つの種からなるシステムの構成を示すために使用されます。三角図は、3次元の場合の 構成データを分析するためのツールです。

集団遺伝学では、遺伝子型頻度の三角プロットはデ・フィネッティ図と呼ばれます。ゲーム理論^[2]や凸最適化^[3]では、これは単体図と呼ばれることが多いです。

三角プロットでは、3 つの変数a、b、cの値を合計すると定数Kになります。通常、この定数は 1.0 または 100% として表されます。グラフ化されるすべての物質についてa + b + c = Kであるため、どの変数も他の変数から独立しているわけではなく、グラフ上のサンプルの点を見つけるには 2 つの変数だけがわかっていればよいことになります。たとえば、c はK − a − bに等しくなければなりません。3 つの数値は独立して変化できないため (自由度は2 つしかないため)、3 つの変数の組み合わせを 2 次元でのみグラフ化できます。

化学組成を表すために三元図を使用する利点は、3 つの変数を 2 次元グラフに簡単にプロットできることです。三元図は、異なる相が存在するプロット上の組成領域を概説することで、相図を作成するためにも使用できます。

三角図上の点の値は、（定数まで）その三線座標または重心座標に対応します。

プロット上の点の値を決定するために使用できる同等の方法は 3 つあります。

1. 平行線またはグリッド法。最初の方法は、三角形の辺に平行な線で構成される図のグリッドを使用することです。三角形の辺に平行な線は、辺の反対側の頂点にあるコンポーネント内の一定の点の軌跡です。各コンポーネントは、三角形の角では 100%、反対側の辺では 0% で、この角からの距離 (反対側の辺に垂直) が増加するにつれて直線的に減少します。ゼロ線と角の間に一定の間隔で平行線を引くと、簡単に推定できるように細かい区分を設定できます。
2. 垂直線法または高度法。グリッド線のない図の場合、値を決定する最も簡単な方法は、関心のある点から 3 つの辺のそれぞれまでの最短距離 (つまり垂直距離) を決定することです。ヴィヴィアーニの定理により、距離 (または距離と三角形の高さの比) から各コンポーネントの値が得られます。
3. コーナーラインまたは交差法。3 番目の方法では、垂直線または平行線を描く必要はありません。各コーナーから、関心のあるポイントを通り、三角形の反対側の辺まで直線が引かれます。これらの線の長さ、およびポイントと対応する辺の間の線分の長さは、個別に測定されます。測定された線の比率から、100% の割合としてコンポーネント値が得られます。

平行線 (グリッド線) に沿った移動では 2 つの値の合計が維持されますが、垂直線に沿った移動では 2 つの値が同じ量増加 (または減少) し、それぞれ 3 番目の値の減少 (増加) の半分になります。角を通る線に沿った移動では、他の 2 つの値の比率が維持されます。

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  図1. 高度法
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  図2. 交差法
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  図 3. 点がプロットされていない三角図の例。
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  図 4. 最初の軸に沿った増分を示す三角図の例。
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  図 5. 2 番目の軸に沿った増分を示す三角図の例。
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  図 6. 3 番目の軸に沿った増分を示す三元図の例。
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  図7. 空の三角プロット
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  図 8. 3 つの軸がどのように機能するかを示します。
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  主要なグリッド線付きのラベルなしの三角形のプロット
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  主グリッド線と副グリッド線が付いたラベルなしの三角形のプロット

図（1）は、軸a、b、cを持つ3次元直交座標空間における点P( a、b、c )の斜投影を示している。

a + b + c = K（正の定数）の場合、 PはA( K ,0,0)、B(0, K ,0)、C(0,0, K )を含む平面に制限されます。a、b、cがそれぞれ負になることがない場合は、（ 2 ）のように、 PはA、B、Cで囲まれた三角形に制限されます。

（3）では、軸が回転して等角投影図になっています。正面から見ると三角形は正三角形に見えます。

（４）において、直線BC、AC、ABからのPの距離はそれぞれa ′、b ′、c ′で表される。

ベクトル形式の任意の直線l = s + t n̂ （ n̂は単位ベクトル）と点pについて、pからlへの垂線の距離は

${\displaystyle \left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.}$

この場合、点Pは

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

BCラインは

${\displaystyle \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

垂直距離の公式を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$

K = a + b + c を代入すると、

${\displaystyle a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

直線ACと直線ABについても同様の計算をすると、

${\displaystyle b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

これは、点からそれぞれの線までの距離が元の値a、b、cに比例していることを示しています。^[4]

直交座標は三角形の点を描くのに便利です。a = 100% が( x , y ) = (0,0)に、b = 100% が(1,0)に配置されている正三角プロットを考えてみましょう。すると、c = 100%となり、3 つの( a , b , c )は ${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.}$

この例では、3 つの土壌サンプルの仮想セットに対してこれがどのように機能するかを示します。

• プロットサンプル1（ステップ1）：
  50%粘土線を見つける
• プロットサンプル1（ステップ2）：
  20%シルトラインを見つける
• プロットサンプル1（ステップ3）：
  最初の2つに依存して、交差点は30％の砂の線上にあります
• すべてのサンプルをプロットする
• 
  Mathematica でプログラムされた土壌タイプの砂、粘土、シルトの三角プロット

• 色度図
• デ・フィネッティ図
• ダリッツプロット
• 可燃性図
• ジェンセン陽イオンプロット
• 水化学で使用されるパイパー図
• 超塩基性岩のUIGS分類図
• USDA土壌テクスチャ図（粒子サイズ別）

• 見かけのモル特性
• ヴィヴィアーニの定理
• 重心座標（数学）
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• 情報グラフィックソフトウェア一覧
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  • シグマプロット
• プロジェクト トライアングル
• トリレンマ

ウィキメディア・コモンズには、三元図に関連するメディアがあります。

• 「三元図の Excel テンプレート」。serc.carleton.edu。カールトン大学科学教育リソース センター (SERC) 。2020 年5 月 14 日閲覧。
• 「Tri-plot: 三元図プロットソフトウェア」。www.lboro.ac.uk。ラフバラー大学 – 地理学部 / リソース ゲートウェイホーム > Tri-plot 。2020年5 月 14 日閲覧。
• 「三元図ジェネレーター – オンラインで三元図を素早く作成」www.ternaryplot.com 。 2020年5月14日閲覧。
• Holland, Steven (2016)。「地球科学におけるデータ分析 - R言語で開発された三元図」。strata.uga.edu 。ジョージア大学。 2020年5月14日閲覧。