クローズドカテゴリ

数学の一分野である圏論において、閉圏は特別な種類の圏である。

局所的に小さな圏では、外部ホム( x , y ) は、2 つの対象を射の集合に写像します。したがって、集合の圏では、これは圏自体の対象となります。同様に、閉じた圏では、ある対象から別の対象への射（の対象）は、圏の内部にあると見なすことができます。これが内部ホム[ x , y ] です。

すべての閉圏には、集合の圏への忘却関手が存在し、特に内部ホムを外部ホムに写像する。

閉じたカテゴリは、カテゴリとして定義できます。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$いわゆる内部Homファンクタを持つ

${\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

左向きの米田矢印

${\displaystyle L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]}$

自然に${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$そして、​${\displaystyle A}$固定された物体${\displaystyle I}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$自然な同型性を持つ

${\displaystyle i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]}$

そして、自然界の変容

${\displaystyle j_{A}:I\to \left[A\ A\right]}$、

すべて特定の整合性条件を満たしている。

• デカルト閉圏は閉圏である。特に、任意のトポスは閉圏である。典型的な例は集合の圏である。
• コンパクト閉圏は閉圏である。その典型的な例は、有限次元ベクトル空間を対象とし、線形写像を射とする圏FdVectである。
• より一般的には、任意のモノイド閉圏は閉圏である。この場合、対象は${\displaystyle I}$はモノイド単位である。

• アイレンバーグ、S. ;ケリー、GM (2012) [1966]. 「閉圏」 .圏論的代数に関する会議議事録. (ラホヤ、1965 年. スプリンガー. pp. 421–562 . doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_22 . ISBN  978-3-642-99902-4。
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