段階的ベクトル空間

数学 において、次数付きベクトル空間とは、次数付けまたはグラデーションという特別な構造を持つベクトル空間であり、ベクトル空間を、一般に整数でインデックス付けされたベクトル部分空間の直和に分解したものです。

「純粋な」ベクトル空間の場合、この概念はホモロジー代数で導入されており、追加の構造を持つ次数付きベクトル空間である次数付き代数で広く使用されています。

を非負整数の集合とする。次数付きベクトル空間は、しばしば接頭辞なしで単に次数付きベクトル空間とも呼ばれ、次の形式の直和への分解を伴う ベクトル空間Vである。${\displaystyle \mathbb {N} }$${\textstyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

ここで、それぞれはベクトル空間です。与えられたnに対して、の元はn次同次元と呼ばれます。 ${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

次数付きベクトル空間は一般的です。たとえば、 1 つまたは複数の変数のすべての多項式の集合は次数付きベクトル空間を形成します。ここで、次数nの同次要素は、次数nの単項式の線形結合とまったく同じです。  

次数付きベクトル空間の部分空間は、自然数の集合でインデックス付けされる必要はなく、任意の集合Iの元でインデックス付けされてもよい。I次数付きベクトル空間Vは、集合Iの元iでインデックス付けされた部分空間の直和への分解を伴うベクトル空間である。

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

したがって、上で定義した -次数ベクトル空間は、集合Iが(自然数全体の集合) であるI -次数ベクトル空間にすぎません。${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

I が環 （元 0 と 1）である場合は、物理学において特に重要です。次数付きベクトル空間は、スーパーベクトル空間とも呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

一般の添字集合Iに対して、2 つのI次数付きベクトル空間f  : V → W間の線型写像は、同次元の次数を保存する場合、次数付き線型写像と呼ばれる。次数付き線型写像は、次数付きベクトル空間の準同型写像（または射）、あるいは同次線型写像とも呼ばれる。

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ すべてのi はIの中にあります。

固定された体と固定されたインデックス セットに対して、次数付きベクトル空間は、その射が次数付き線型写像である カテゴリを形成します。

Iが可換 モノイド（自然数など）のとき、より一般的には、 Iの任意の次数iの同次な線型写像を次の性質によって 定義することができる。

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$Iのすべてのj に対して、

ここで「+」はモノイド演算を表す。さらに、I が消去特性を満たし、それが生成するアーベル群Aに埋め込むことができる場合（たとえば、Iが自然数の場合の整数）、同じ特性によってAのi次同次な線型写像も定義できる（ただし、今度は「+」はAの群演算を表す）。具体的には、Iのiに対して、線型写像は次数 − iの同次である場合に、

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$Iの すべてのjに対して、

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$j − iがIにない 場合。

ベクトル空間からそれ自身への線型写像の集合が結合代数（ベクトル空間の自己準同型写像の代数）を形成するのと同様に、空間からそれ自身への同次線型写像の集合は、次数をIに制限するか、群A内の任意の次数を許容するかのどちらかで、それらのインデックス集合上の結合次数付き代数を形成します。

ベクトル空間に対するいくつかの演算は、次数付きベクトル空間に対しても定義できます。

2つのI 次数ベクトル空間VとWが 与え られたとき、それらの直和は、次数

( V  ⊕  W ) _i = V _i  ⊕  W _i です。

I が半群である場合、 2つの I次数ベクトル空間VとWのテンソル積は、次数${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

任意のに対して有限次元である -次数付きベクトル空間が与えられたとき、そのヒルベルト・ポアンカレ級数は形式的な冪級数である。${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

上記の式から、次数付きベクトル空間（各次数で有限次元）の直和とテンソル積のヒルベルト・ポアンカレ級数は、それぞれ対応するヒルベルト・ポアンカレ級数の和と積であることがわかります。

• 成績評価（数学）
• 段階的代数
• コモジュール
• 段階別モジュール
• リトルウッド・リチャードソン則

• Bourbaki, N. (1974)代数 I (第 1-3 章)、ISBN  978-3-540-64243-5、第 2 章、セクション 11、第 3 章。