サブスペースの縮小

線型代数学では、ヒルベルト空間からそれ自身への線型写像の縮小部分 空間は の不変部分空間であり、その直交補空間も の不変部分空間である。つまり、部分空間は写像を縮小すると言える。${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W^{\perp}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle T(W)\subseteq W}$${\displaystyle T(W^{\perp })\subseteq W^{\perp }.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T.}$

線形写像は、非自明な縮小部分空間を持つ場合、既約であると言われます。そうでない場合は、既約ではないと言われます。

が有限次元であり、行列の基底の下で表現される写像の縮小部分空間である場合、和として表される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle W}$${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle M=P_{W}MP_{W}+P_{W^{\perp}}MP_{W^{\perp}}}$$

ここで はから への直交射影の行列であり、は^[1]への射影の行列である （ここでは単位行列である）。 ${\displaystyle P_{W}\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P_{W^{\perp }}=I-P_{W}}$${\displaystyle W^{\perp }.}$${\displaystyle I\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$

さらに、は の正規直交基底を持つ。 が から への遷移行列である場合、を表す行列に対するはブロック対角行列である。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle Q^{-1}MQ}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle Q^{-1}MQ=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right]}$$

ここで、および${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{d\times d},}$${\displaystyle d=\dim W}$${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{(rd)\times (rd)}.}$