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数学では、分配束の双対性理論は、プリーストリー空間、スペクトル空間、ペアワイズストーン空間を介して、有界分配束 の 3 つの異なる (しかし密接に関連した) 表現を提供します。この双対性は、元々はマーシャル H. ストーンによるもので、[ 1 ]ストーン空間とブール代数の間のよく知られたストーン双対性を一般化したものです。
L を有界分配束とし、X をLの素フィルタの集合とする。各a ∈ Lに対して、φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x }とする。このとき、( X , τ + )はスペクトル空間であり、[ 2 ] X上の位相τ +は{ φ + ( a ) : a ∈ L }によって生成される。スペクトル空間( X , τ + )はLの素スペクトルと呼ばれる。
写像φ +は、Lから( X , τ + )のすべてのコンパクト開部分集合の格子への格子同型写像です。実際、各スペクトル空間は、ある有界分配格子の素スペクトルと同相です。 [ 3 ]
同様に、φ − ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x }であり、 τ − が{ φ − ( a ) : a ∈ L }によって生成される位相を表す場合、( X , τ − )もスペクトル空間です。さらに、( X , τ + , τ − )はペアワイズ ストーン空間です。ペアワイズ ストーン空間( X , τ + , τ − )はLの双位相双対と呼ばれます。各ペアワイズ ストーン空間は、ある有界分配束の双位相双対と双同相です。[ 4 ]
最後に、≤ をLの素フィルタの集合上の集合論的包含関係とし、 τ = τ + ∨ τ −とする。このとき、( X , τ ,≤)はプリーストリー空間である。さらに、φ +はLから( X , τ ,≤)のすべてのクローペンアップセットの束への束同型写像である。プリーストリー空間( X , τ ,≤)はLのプリーストリー双対と呼ばれる。各プリーストリー空間は、ある有界分配束のプリーストリー双対と同型である。[ 5 ]
Dist を、有界分配束と有界束準同型の圏とします。すると、上記の 3 つの有界分配束の表現は、Distと、スペクトル写像を持つスペクトル空間、双連続写像を持つペアワイズ Stone 空間、および Priestley 射を持つ Priestley 空間の圏Spec、PStone、および Priesとの間の双対同値[ 6 ]に拡張できます。
このように、有界分配束を表現する方法は3つあり、それぞれに独自の動機と利点がありますが、最終的にはいずれも有界分配束の理解を深めるという同じ目的を果たします。