二位相空間

数学において、ビット位相空間は2 つの位相を持つ集合です。通常、集合がで位相が の場合、ビット位相空間は と呼ばれます。この概念は、対称である必要がない距離関数である準距離関数の研究において JC Kelly によって導入されました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (X,\sigma ,\tau )}$

ビット位相空間から別のビット位相空間への写像は、 が からへの写像としても から への写像としても連続している場合、連続または場合によってはペアワイズ連続と呼ばれます。 ${\displaystyle \scriptstyle f:X\to X'}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau_{1},\tau_{2})}$${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau_{1}',\tau_{2}')}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{1}')}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{2}')}$

位相空間のよく知られた特性に対応して、ビット位相空間のバージョンが存在します。

• 双位相空間が対コンパクトであるとは、の各被覆が有限部分被覆を含む場合である。この場合、は から少なくとも1つの要素と から少なくとも1つの要素を含まなければならない。${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau_{1},\tau_{2})}$${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \scriptstyle X}$${\displaystyle \scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}}$${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$
• 任意の 2 つの異なる点に対して、および を満たす互いに素な および が存在する場合、そのビット位相空間はペアワイズ ハウスドルフです。${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau_{1},\tau_{2})}$${\displaystyle \scriptstyle x,y\in X}$${\displaystyle \scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle U_{2}\in \tau _{2}}$${\displaystyle \scriptstyle x\in U_{1}}$${\displaystyle \scriptstyle y\in U_{2}}$
• ビット位相空間が0 次元のペアであるとは、 が開いていてが閉じているものがの基底を形成し、 が開いていてが閉じているものがの基底を形成する場合です。${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau_{1},\tau_{2})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$
• 任意の-閉集合および-閉集合に対して、となる-開集合および-開集合が存在するとき、双位相空間は双正規形と呼ばれます。${\displaystyle \scriptstyle (X,\sigma ,\tau )}$${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma}$${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau}$${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma}$${\displaystyle \scriptstyle G_{\tau}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau}$${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau}\subseteq G_{\sigma}}$${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .}$

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