スペクトル空間

数学において、スペクトル空間とは、可換環のスペクトルと同相な位相空間のことである。また、コヒーレントトポスとの関連性から、コヒーレント空間とも呼ばれることがある。

X を位相空間とし、Kを^{${\displaystyle \circ }$}( X ) をXのすべてのコンパクト開部分集合の集合とする 。このとき、 Xが以下のすべての条件を満たす場合、X はスペクトルであると言われる。

• Xはコンパクトである。
• K^{${\displaystyle \circ }$}( X ) はXの開部分集合の基底である。
• K^{${\displaystyle \circ }$}( X )は有限個の交差に関して閉じている。
• Xは健全である。すなわち、Xの空でない既約閉部分集合はすべて一意の一般点を持つ。

Xが健全であることから、XはT₀_であることが導かれる。実際、スペクトル空間の定義は、XがT₀である_{ことを明示的に仮定し、} Xが健全であるという仮定を弱めて、準健全であること、すなわち、すべての既約閉部分空間が（必ずしも一意ではない）一般点を持つことを要求することによって、同等に再定式化することができる。これは、ホッホスターの1967年の論文で定義が定式化されている方法である。

Xを位相空間とする。以下の各性質は、Xがスペクトル空間であることと同値である。

1. Xは有限T0空間の_射影極限と同相である。
2. Xは有界分配束Lのスペクトルと同相である。この場合、Lは（有界束として）束Kと同型である。^{${\displaystyle \circ }$}（X）（これは分配束のストーン表現と呼ばれます）。
3. Xは可換環のスペクトルと同相である。
4. Xはプリーストリー空間によって決定される位相空間である。
5. Xは、開集合の局所がコヒーレントであるT ₀空間である (そして、すべてのコヒーレントな局所はこのようにして一意のスペクトル空間から得られる)。

Xをスペクトル空間とし、Kを^{${\displaystyle \circ }$}（X）は以前と同じとする。すると：

• K^{${\displaystyle \circ }$}( X ) はXの部分集合の有界部分束である。
• Xのすべての閉部分空間はスペクトル空間である。
• Xのコンパクト部分集合とオープン部分集合の任意の交差(したがってKの要素)^{${\displaystyle \circ }$}（X）は再びスペクトルである。
• Xは定義上T _{0ですが、一般には}T ₁ではありません。^{[ 1 ]}実際、スペクトル空間が T ₁であるのは、それがハウスドルフ空間(つまり T ₂ ) である場合のみであり、それがブール空間である場合のみであり、 Kである場合のみです。^{${\displaystyle \circ }$}( X ) はブール代数です。
• Xはペアワイズストーン空間と見なすことができる。^{[ 2 ]}

スペクトル空間XとYの間のスペクトル写像 f : X → Y は、連続写像であり、 fによるYのすべての開かつコンパクトな部分集合の逆像が再びコンパクトになるような写像です。

スペクトル写像を射とするスペクトル空間の圏は、有界分配束の圏（およびそのような束の準同型）と双対的に同値である。^{[ 3 ]}この反同値関係において、スペクトル空間X は束Kに対応する。^{${\displaystyle \circ }$}（X）