スキューズ数

数論において、スキューズ数は最小の自然数である。${\displaystyle x}$素数計数関数${\displaystyle \pi (x)}$対数積分関数を超える${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$この数値は、その値の上限を初めて計算した南アフリカの数学者スタンリー・スキューズ にちなんで名付けられた。

スキューズ数の正確な値はまだわかっていませんが、${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$そして${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$近く${\displaystyle e^{727.95133}\approx 1.3972\times 10^{316}.}$これが最小の横断地点かどうかは不明である。

この名称は、スキューズが発見した大きな数の上限値のいずれかにも用いられることがある。

誰もその価値を見つけたことはないが、${\displaystyle x}$そのために${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$スキューズの研究指導者であるJEリトルウッドは、リトルウッド（1914）でそのような数（つまり最初のそのような数）が存在することを証明し、実際にその差の符号が${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$無限に何度も変化する。しかし、リトルウッドの証明は、具体的なそのような回数を示していなかった。${\displaystyle x}$また、その値の範囲も示さなかった。

スキューズの課題は、リトルウッドの存在証明を有効なものにすること、つまり最初の符号変化の具体的な上限を示すことだった。ゲオルク・クライゼルによれば、当時、これは原理的にも自明とは考えられていなかった。^{[ 1 ]}

Skewes (1933)は、リーマン予想が正しいと仮定すると、${\displaystyle x}$違反する${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$下に

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

リーマン予想を仮定せずに、スキューズ（1955）は後に、${\displaystyle x}$下に

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

これらの上限値はその後、リーマンゼータ関数の零点の大規模コンピュータ計算を用いることで大幅に縮小された。クロスオーバー点の実際の値の最初の推定値は、リーマン（1966）によって与えられ、彼は、ある時点で、$1.53×10¹¹⁶⁵$そして$1.65 × 10¹¹⁶⁵$より$10^{500}}$連続する整数${\displaystyle x}$と${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$リーマン予想を仮定せずに、HJJ te Riele ( 1987 )は、 $7×10³⁷⁰$より正確な推定値は$1.39822 × 10^{316}}$ベイズとハドソン（2000）によって発見され、少なくとも$10^{153}}$この値に近い連続する整数${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ベイズとハドソンは、さらに小さな値をいくつか発見した。${\displaystyle x}$どこ${\displaystyle \pi (x)}$近づく${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$これらの値付近に交点が存在する可能性はまだ完全には否定されていないようですが、コンピュータ計算ではそのような交点が存在する可能性は低いと示唆されています。Chao & Plymen (2010)はBays と Hudson の結果をわずかに改善し、修正しました。Saouter & Demichel (2010)は交点のより狭い区間を発見し、Zegowitz (2010)によってわずかに改善されました。同じ情報源によると、${\displaystyle x}$違反する${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$下に${\displaystyle e^{727.9513468}\approx 1.397182\times 10^{316}}$これは以下のように簡略化できます。$${\displaystyle e^{727.9513386}\approx 1.397171\times 10^{316}}$$リーマン予想を仮定すると、Stoll & Demichel (2011)は最大 2 × 10の解析を行った。^11個の複素零点があり、クロスオーバーが近くに存在する可能性があるという計算上の証拠を与えている。$1.397162914 × 10^{316}}$。

逆方向の研究として、ロッサーとシェーンフェルド（1962）は、以下の交点が存在しないことを証明した。${\displaystyle x=10^{8}}$ブレント（1975）によって改良され$8×10¹⁰$コトニック（2008）による$10^{14}}$Platt & Trudgian (2014)による$1.39×10¹⁷$、そしてBüthe（2015）によって$10^{19}}$。

明示的な値はありません${\displaystyle x}$不動産を所有していることが確実視されている${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$ただし、コンピュータによる計算では、この条件を満たす可能性が非常に高い具体的な数値がいくつか示唆されている。

正の整数の自然密度は${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$存在しないが、Wintner (1941)は、これらの正の整数の対数密度が存在し、正であることを示した。Rubinstein & Sarnak (1994)は、この割合が約であることを示した。2.6 × 10 ⁻⁷は、最初の例を見つけるまでにどれだけ遠くまで行かなければならないかを考えると、驚くほど大きな値です。

リーマンは明示的な公式を与えた。${\displaystyle \pi (x)}$（微妙な収束問題は無視して）その主要項は

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{より小さな項}}}$

ここで合計は全体にわたる${\displaystyle \rho }$リーマンゼータ関数の非自明な零点の集合内。

近似における最大の誤差項${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$（リーマン予想が正しい場合）は負である$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$それによって、${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$通常はより大きい${\displaystyle \pi (x)}$上記の他の項はやや小さく、さらに一見ランダムに見える異なる複素引数を持つ傾向があるため、ほとんどの場合相殺されます。しかし、まれに大きな項のいくつかがほぼ同じ複素引数を持つ場合があり、その場合は相殺されるのではなく互いに強化し合い、項を圧倒します。$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$。

スキュー数がこれほど大きい理由は、これらの小さな項が主要な誤差項よりもかなり小さいからです。これは主に、ゼータ関数の最初の複素零点の虚部が非常に大きいため、支配的な項を圧倒するには、それらの多数（数百）がほぼ同じ引数を持つ必要があるためです。${\displaystyle N}$ほぼ同じ引数を持つランダムな複素数は約 1 です$2N$その理由は${\displaystyle \pi (x)}$時にはより大きい${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$また、なぜこのような現象が稀なのかも示しています。さらに、このような現象が発生する場所を見つけるには、リーマンゼータ関数の数百万個もの高精度零点を大規模に計算する必要がある理由も明らかになっています。

上記の議論は、リーマンゼータ関数の零点がランダムであると仮定しているため、証明とは言えません。これは事実ではありません。大まかに言えば、リトルウッドの証明は、ディリクレの近似定理を用いて、多くの項がほぼ同じ引数を持つ場合があることを示すものです。リーマン予想が偽である場合、議論ははるかに単純になります。なぜなら、項が$\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$リーマン予想に違反する零点（実部が 1/2より大きい）は最終的に${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$。

その用語の理由は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$大まかに言うと、${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$実際には素数そのものではなく、素数のべき乗を数えています。${\displaystyle p^{n}}$重み付け${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$。 用語${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$これは、素数の二乗を考慮した二次補正とほぼ同等である。

素数k組についても、スキュー数の同等の定義が存在する( Tóth (2019) )。${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$素数 ( k  + 1) タプルを表す。$\displaystyle \pi _{P}(x)$素数の数${\displaystyle p}$下に${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$すべて素数です。$\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$そして${\displaystyle C_{P}}$そのハーディ・リトルウッド定数を表す（第一ハーディ・リトルウッド予想を参照）。すると最初の素数は${\displaystyle p}$これは、( k  + 1)組に対するハーディ・リトルウッドの不等式に違反する。${\displaystyle P}$つまり、最初の素数${\displaystyle p}$そのため

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

（そのような素数が存在する場合）は、スキュー数です。${\displaystyle P.}$

以下の表は、素数k組に対する現在知られているスキュー数を示しています。

セクシーな素数のスキュー数（存在する場合）${\displaystyle (p,p+6)}$未だ不明である。

また、すべての許容されるkタプルに対応するスキュー数が存在するかどうかも不明である。

• メルテンスの定理 § 符号の変化

• デミシェルズ、パトリック。「素数計数関数と関連事項」(PDF)。デミシェル。2006年9月8日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2009年9月29日取得。
• アシモフ、I. (1976). 「串刺し！」。『大小さまざまな事柄』。ニューヨーク：エースブックス。ISBN 978-0441610723。