スケルトン（圏論）

数学において、カテゴリのスケルトンとは、大まかに言えば、無関係な同型性を含まないサブカテゴリのことです。ある意味では、カテゴリのスケルトンは「最小の」同等のカテゴリであり、元のカテゴリのすべての「カテゴリ特性」を捉えています。実際、2 つのカテゴリが同等なのは、それらが同型のスケルトンを持っている場合のみです。同型オブジェクトが必然的に同一である場合、カテゴリはスケルトンと呼ばれます。

カテゴリCのスケルトンは、同型オブジェクトが等しい同値カテゴリ Dです。通常、スケルトンは、次のようなCのサブカテゴリ Dと見なされます。

• DのCへの包含は完全かつ本質的に射影的であり、

• Dは骨格です。つまり、 Dの任意の 2 つの同型オブジェクトは等しいです。

すべての小さなカテゴリにはスケルトンがあるというのは基本的な事実です。より一般的には、すべてのアクセス可能なカテゴリにはスケルトンがあります。^{[要出典] (これは}選択公理に相当します。) また、カテゴリには多くの異なるスケルトンがある場合がありますが、任意の 2 つのスケルトンはカテゴリとして同型であるため、カテゴリの同型性を除き、カテゴリのスケルトンは一意です。

スケルトンの重要性は、それらが（カテゴリの同型性を除いて）カテゴリの同値関係の下でのカテゴリの同値類の標準的な代表であるという事実に由来します。これは、カテゴリCの任意のスケルトンがCと同値であること、および 2 つのカテゴリが同型スケルトンを持つ場合のみに同等であるという事実から生じます。

• すべての集合の集合というカテゴリには、すべての基数というサブカテゴリが骨格として存在します。
• 固定体上のすべてのベクトル空間のカテゴリK -Vectには、すべてのべき乗 （ αは任意の基数）からなるサブカテゴリがスケルトンとして存在します。任意の有限のmとnに対して、マップはKに要素を持つn × m行列とまったく同じです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{(\alpha )}}$${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• すべての有限集合のカテゴリFinSet は、すべての有限順序数のカテゴリFinOrd をスケルトンとして持っています
• すべての整列集合のカテゴリは、すべての順序数のサブカテゴリを骨格として持っています。
• 事前順序、つまりオブジェクトのすべてのペアに対して、セットに1 つの要素が含まれるか空である小さなカテゴリには、スケルトンとして半順序セットがあります。${\displaystyle A,B}$${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$

• 圏論の用語集
• 薄いカテゴリー

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). 抽象カテゴリーと具象カテゴリー。John Wiley & Sons 社より初版発行。ISBN 0-471-60922-6 。(現在はオンライン版が無料)
• ロバート・ゴールドブラット (1984)。トポイ、論理のカテゴリー分析(論理学と数学の基礎研究、98)。ノースホランド。2006 年に Dover Publications により再版。