シュブニコフ・ド・ハース効果

シュブニコフ・ド・ハース効果（SdH）は、非常に強い磁場が存在する低温下で物質の導電率が振動する現象であり、物質の本来的な量子力学的性質を巨視的に表したものです。この効果は、電荷キャリア（電子と正孔）の実効質量を決定するためによく用いられ、研究者が多数キャリアと少数キャリアを区別することを可能にします。この効果は、ワンダー・ヨハネス・ド・ハースとレフ・シュブニコフにちなんで名付けられました。

十分に低い温度と高い磁場下では、金属、半金属、または狭バンドギャップ半導体の伝導帯にある自由電子は、単純な調和振動子のように振る舞います。磁場強度が変化すると、単純な調和振動子の振動周期もそれに比例して変化します。結果として得られるエネルギー スペクトルは、サイクロトロンエネルギーによって分離されたランダウ準位で構成されます。これらのランダウ準位は、さらにゼーマン エネルギーによって分裂します。各ランダウ準位では、サイクロトロン エネルギー、ゼーマン エネルギー、および電子状態数 ( eB / h ) はすべて、磁場の増加に伴って直線的に増加します。したがって、磁場が増加すると、スピン分裂したランダウ準位はより高いエネルギーに移動します。各エネルギー準位がフェルミ エネルギーを通過すると、電子が電流として自由に流れるようになるため、準位の占有率が低下します。これにより、材料の輸送特性と熱力学的特性が周期的に振動し、材料の導電率に測定可能な振動が生じます。フェルミ準位を越える遷移は狭いエネルギー範囲にわたるため、波形は正弦波ではなく方形波となり、温度が低下するにつれてその形状はますます方形波に近づいていく。

幅が与えられたサンプル内に閉じ込められた、2次元の電子量子ガスを考えます。磁束密度Bが存在する場合、このシステムのエネルギー固有値はランダウ準位によって記述されます。図 1 に示すように、これらの準位は垂直軸に沿って等間隔です。各エネルギー準位はサンプル内部ではほぼ平坦です (図 1 を参照)。サンプルの端では、仕事関数によって準位が上向きに曲がります。

図1は、2つのランダウ準位の間にあるフェルミエネルギーEFを示しています^。電子^は、^{エネルギー}準位がフェルミ_{エネルギー}EFを横切ると移動可能になります。フェルミ_{エネルギー}EFが2つのランダウ準位の間にある場合、電子_の散乱は準位が曲がっている試料の端でのみ発生します。対応する電子状態は、一般にエッジチャネルと呼ばれます。

この特定の試料における電子輸送を記述するために、ランダウアー・ビュッティカー法が用いられる。ランダウアー・ビュッティカー法では、1 ≤ m ≤ n個の接点間を流れる正味電流I _mを計算できる。簡略化された形式では、化学ポテンシャルμ _mを持つ接点mの正味電流I _mは次のようになる。

ここで、eは電子の電荷、h はプランク定数、i はエッジチャネルの数を表します。[ ^{2 ]行列}T ml_は、負に帯電した粒子 (すなわち電子) が接点l ≠ mから別の接点mへ透過する確率を表します。関係式 ( 1 ) の正味電流I _mは、接点mに向かう電流と、接点mから他のすべての接点l ≠ mへ透過する電流で構成されます。この電流は、接点mの電圧μ _m / eに、エッジチャネルあたりの ホール伝導率2 e ² / hを乗じたものに等しくなります。

図2は4つの接点を持つサンプルを示しています。サンプルに電流を流すために、接点1と接点4の間に電圧を印加します。接点2と接点3の間で電圧を測定します。電子が最初の接点から出て、接点1から接点2へ、次に接点2から接点3へ、次に接点3から接点4へ、そして最後に接点4から接点1へと伝送されるとします。接点1から接点2へ伝送される負電荷（つまり電子）は、接点2から接点1への電流を生じさせます。接点2から接点3へ伝送される電子は、接点3から接点2への電流を生じさせます。さらに、それ以上の経路に沿って電子が伝送されないとします。理想的な接点の伝送確率は次のようになります。

${\displaystyle T_{21}=T_{32}=T_{43}=T_{14}=1,}$

そして

${\displaystyle T_{ml}=0}$

それ以外の場合。これらの確率、4つの接点を流れる電流I ₁ ... I _{4 、およびそれらの}化学ポテンシャルμ ₁ ... μ ₄を用いて、式( 1 )は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle \left({\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\\I_{4}\end{matrix}}\right)={\frac {2e\cdot i}{h}}\left({\begin{matrix}1&0&0&-1\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\mu _{3}\\\mu _{4}\end{matrix}}\right).}$

接点2と接点3の間で電圧が測定される。電圧測定では、理想的にはメーターに電流が流れないようにする必要があるので、I ₂  = I ₃ = 0となる。したがって、   

${\displaystyle I_{3}=0={\frac {2e\cdot i}{h}}\left(-\mu _{2}+\mu _{3}\right),}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{3}.}$

言い換えれば、化学ポテンシャルμ₂_とμ₃、およびそれぞれの電圧μ₂ / eとμ₃ / e_{は同じである。接点2と接点3}の間には電圧降下がないため、電流I₁_は接点2と接点3の間で抵抗率R₀dHが_ゼロとなる。

${\displaystyle R_{\mathrm {SdH} }={\frac {\mu _{2}-\mu _{3}}{e\cdot I_{1}}}=0.}$

接点2と接点3間の抵抗率がゼロになるのは、電子が試料の端のチャネルでのみ移動可能であるためです。_ランダウ準位がフェルミエネルギーEFに近づくと状況は異なります。その準位にある電子は、エネルギーがフェルミエネルギーEFに近づくにつれて移動可能になります。その結果、散乱によってR _SdH > 0となります。言い換えれ ば、上記のアプローチでは、ランダウ準位がフェルミエネルギー_EFが2つの準位の間にある位置にある場合、_常に抵抗率がゼロになります。  

シュブニコフ・ド・ハース振動は、試料の二次元電子密度を決定するために使用できる。${\displaystyle \Phi }$ランダウ準位あたりのスピンS = 1/2を持つ電子の最大数D は  

磁束量子Φ ₀ = h / eと磁束Φ = BAの式を代入すると、関係式 ( 2 ) は次のようになる。

${\displaystyle D=2{\frac {eBA}{h}}}$

N を単位面積あたりの最大状態数とすると、D = NAとなり、

${\displaystyle N=2{\frac {eB}{h}}.}$

ここで、各ランダウ準位を上記のサンプルのエッジチャネルに対応させる。単位面積あたりN個の電子で満たされたエッジチャネルの数iが与えられた場合、単位面積あたりの電子の総数nは次のようになる。

${\displaystyle n=iN=2i{\frac {eB}{h}}.}$

単位面積あたりの電子の総数n は、一般的に試料の電子密度と呼ばれます。電子は試料から未知の物質へは消えないので、電子密度nは一定です。したがって、

${\displaystyle B_{i}={\frac {nh}{2ei}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2ei}{nh}},}$

特定のサンプルでは、​​関係式（ 3 ）の右辺にある電子密度nを含むすべての因子は一定です。エッジチャネルのインデックスiを磁束密度の逆数 1/ B _iに対してプロットすると、傾き2e /( nh )の直線が得られます。電子電荷eとプランク定数hは既知であるため、このプロットからサンプルの電子密度nを導出できます。 ^{[ 3 ]}_{シュブニコフ・ド・ハース振動は、高濃度ドープされた}Bi2Se3 で観測されています。^{[ 4 ]}図 3は_、 Bi2Se3_サンプルの 10 番目から 14 番目の極小値の磁束密度の逆数 1/ B _iを示しています。線形近似から得られた傾き 0.00618/T から電子密度nが得られます_。

${\displaystyle n={\frac {2e}{0.00618/\mathrm {T} \cdot h}}\approx 7.82\times 10^{14}/\mathrm {m} ^{2}.}$

シュブニコフ・ド・ハース振動は、様々な印加電場方向における振動周期を測定することで、試料中の電子のフェルミ面をマッピングするために利用できる。

この効果は、磁化における対応する振動に付けられた名称であるデハース・ファンアルフェン効果に関連しています。各効果の特徴は、逆磁場の関数としてプロットすると周期的な波形になることです。磁気抵抗振動の「周波数」は、フェルミ面の周りの極値軌道の領域を示します。フェルミ面の面積はテスラで表されます。より正確には、逆テスラでの周期は、逆メートル/センチメートルでのフェルミ面の極値軌道の面積に反比例します。

• シュブニコフ、L.デ・ハース、ウィスコンシン州 (1930)。"Magnetische Widerstandsvergrösserung in Einkristallen von Wismut beitiefen Tempen" [低温でのビスマス単結晶の磁気抵抗増加] (PDF)。オランダ王立芸術科学アカデミーの議事録（ドイツ語）。33：130～ 133
• シュブニコフ、L.デ・ハース、ウィスコンシン州 (1930)。"Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I)" [液体水素の温度における磁場中のビスマス結晶の抵抗変化における新しい現象 (I) ] (PDF)。オランダ王立芸術科学アカデミーの議事録。33 : 363–378 .
• シュブニコフ、L.デ・ハース、ウィスコンシン州 (1930)。「Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (II)」(PDF)。オランダ王立芸術科学アカデミーの議事録。33 : 418–432 .
• シュブニコフ、L.デ・ハース、ウィスコンシン州 (1930)。"Die Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Stickstoff" [液体窒素の温度における磁場中のビスマス結晶の抵抗の変化] (PDF)。オランダ王立芸術科学アカデミーの議事録。33 : 433–439 .

• この記事は、米国政府機関の著作物としてパブリックドメインである、Lang.gov の Shubnikov effect のテキストを使用しています。このテキストはWayback Machineに 2017 年 9 月 22 日にアーカイブされています。
• 強磁場における物質の挙動（2006年9月3日にWayback Machineにアーカイブ済み）