単価関数

数学の複素解析の分野では、複素平面の開集合上の正則関数が単射である場合、その関数は単価的である と呼ばれる。^{[1] [2]}

関数は開単位円板において単項関数であるため、となります。開単位円板では 2 番目の因子がゼロでないため、単射となります。 ${\displaystyle f\colon z\mapsto 2z+z^{2}}$${\displaystyle f(z)=f(w)}$${\displaystyle f(z)-f(w)=(zw)(z+w+2)=0}$${\displaystyle z=w}$${\displaystyle f}$

とが複素平面上の 2つの開連結集合である場合、${\displaystyle G}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

が単葉関数で（つまり、が全射）、 の導関数がゼロになることはなく、は可逆であり、その逆関数も正則である。さらに、連鎖律により、${\displaystyle f(G)=\Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

全員で${\displaystyle z}$${\displaystyle G.}$

実 解析関数の場合、複素解析関数（つまり正則関数）とは異なり、これらの記述は成り立ちません。たとえば、関数

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

で与えられる。この関数は明らかに単射であるが、その導関数は で 0 であり、その逆関数は区間 全体で解析的ではなく、微分可能でもない。したがって、定義域を複素平面の開部分集合に拡大すると、単射ではなくなる。そして、これは (たとえば) (ただし は1 の原始立方根であり、はの近傍としてのの半径よりも小さい正の実数) であるため、その通りである。 ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0}$

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