シュールの定理

離散数学において、シュールの定理は、数学者イサイ・シュールによるいくつかの定理のいずれかを指す。微分幾何学において、シュールの定理はアクセル・シュールによる定理である。関数解析において、シュールの定理は、イサイ・シュールにちなんで、シュールの性質と呼ばれることが多い。

ラムゼー理論では、シュールの定理は、すべての正の整数cに対して、すべての整数の分割に対して、ある正の整数Sが存在することを述べている。${\displaystyle \{1,\ldots ,S\}}$c個の部分に分割され、そのうちの1つの部分には整数x、y、zが含まれる。${\displaystyle x+y=z}$。

任意の正の整数cに対して、S ( c ) は、整数の任意の分割に対して、最小の数Sを表します。${\displaystyle \{1,\ldots ,S\}}$c個の部分に分割し、そのうちの 1 つの部分には整数x、y、zが含まれる。${\displaystyle x+y=z}$シュールの定理は、すべての正の整数cに対してS ( c ) が適切に定義されることを保証します。S ( c )の形の数はシュール数と呼ばれます。

フォークマンの定理は、シューアの定理を一般化したもので、任意の大きさの整数の集合が存在し、そのすべての空でない和は同じ部分に属すると述べている。

この定義を用いると、既知のシュール数はS ( n ) = 2、5、14、45、161 ( OEISのシーケンスA030126 )のみである。S ( 5) = 161の証明は2017 年に発表され、2ペタバイトのスペースを必要とした。^{[ 1 ] [ 2 ]}

組み合わせ論において、シューアの定理は、与えられた数を互いに素な固定された集合の（非負の整数）線形結合として表現する方法の数を示します。特に、${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$は、以下の条件を満たす整数の集合である。${\displaystyle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1}$非負整数の異なる倍数の数${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n})}$そのため${\displaystyle x=c_{1}a_{1}+\cdots +c_{n}a_{n}}$いつ${\displaystyle x}$無限大になるというのは：

${\displaystyle {\frac {x^{n-1}}{(n-1)!a_{1}\cdots a_{n}}}(1+o(1)).}$

その結果、互いに素な数の任意の集合に対して${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$値が存在する${\displaystyle x}$より大きな数はすべて、${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$少なくとも一つの方法ではそう言える。この定理の帰結は、硬貨を使って金額を両替するという問題を例にとると、より身近な文脈で言い換えることができる。硬貨の額面が互いに素な数（例えば2と5）であれば、十分大きな金額であれば、これらの硬貨だけで両替できる。（「硬貨問題」を参照。）

微分幾何学において、シューアの定理は空間曲線の両端間の距離を比較する。${\displaystyle C^{*}}$対応する平面曲線の端点間の距離${\displaystyle C}$曲率がより小さい。

仮定する${\displaystyle C(s)}$曲率を持つ平面曲線です${\displaystyle \kappa (s)}$これは、その両端を結ぶ弦で閉じると凸曲線となり、${\displaystyle C^{*}(s)}$曲率が同じ長さの曲線です${\displaystyle \kappa ^{*}(s)}$。 させて${\displaystyle d}$端点間の距離を表す${\displaystyle C}$そして$\displaystyle d^{*}}$端点間の距離を表す${\displaystyle C^{*}}$。 もし$\displaystyle \kappa ^{*}(s)\leq \kappa (s)$それから$\displaystyle d^{*}\geq d$。

シュールの定理は通常次のように述べられる。${\displaystyle C^{2}}$曲線の場合、標準的な証明は有限の全曲率を持つ曲線にも適用できるが、ジョン・M・サリバンは、標準的な証明は有限の全曲率を持つ曲線にも適用できると指摘している（ただし、その記述は若干異なる）。

モハメド・ゴミはシュールの定理をカルタン・アダマール多様体の曲線に一般化した。^{[ 3 ]}

線形代数では、シューアの定理は、複素数要素を持つ正方行列の三角化、または実数要素と実数固有値を持つ正方行列の三角化として言及される。

関数解析やバナッハ空間の研究において、 I. Schurによる Schur の定理は、特定の空間において弱収束がノルム収束を意味するというSchur の性質を指すことが多い。

数論において、イサイ・シュールは1912年に、整数係数を持つ任意の非定数多項式p ( x )に対して、 S がすべての非ゼロ値の集合である場合、${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p(n)\neq 0:n\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}}$すると、 Sの要素を割り切る素数の集合は無限になります。

• シューアの補題（リーマン幾何学）

• ハーバート・S・ウィルフ（1994）。生成機能学。アカデミック・プレス。
• Shiing-Shen Chern (1967). ユークリッド空間における曲線と曲面。『グローバル幾何学と解析の研究』所収。Prentice -Hall。
• イッサイシュール（1912年）。 Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen speziellen arithmetischen Progressionen, Sitzungsberichte der Berliner Math.

• ダニー・ブレスラウアーとデヴダット・P・ドゥバシ（1995）。コンピュータ科学者のための組み合わせ論
• John M. Sullivan (2006). Curves of Finite Total Curvature . arXiv.