配列処理

アレイ処理は、信号処理 分野における幅広い研究領域であり、最も単純な 1 次元ラインアレイから 2 次元および 3 次元アレイ形状にまで及びます。アレイ構造は、無線アンテナや地震アレイなど、空間的に分離されたセンサーのセットとして定義できます。特定の問題に使用されるセンサーは、マイク、加速度計、望遠鏡など、多岐にわたります。ただし、多くの類似点があり、最も基本的なものは波動伝播の仮定である可能性があります。波動伝播とは、空間的に分離されたセンサーで受信された信号間に体系的な関係があることを意味します。波動伝播の物理モデル、または機械学習アプリケーションではトレーニング データセットを作成することにより、空間的に分離されたセンサーで受信された信号間の関係を多くのアプリケーションに活用できます。

配列処理技術で解決される一般的な問題は次のとおりです。

• エネルギー放射源の数と位置を決定する
• 信号対雑音比 ( SNR ) または「信号対干渉雑音比 ( SINR )」を向上させる
• 移動源を追跡する

アレイ処理メトリックは、ノイズの多い環境で評価されることが多いです。ノイズのモデルは、空間的にインコヒーレントなノイズ、または同じ伝搬物理に従う干渉信号のいずれかです。推定理論は信号処理分野の重要な基本部分であり、ランダムな要素を持つ測定/経験的データに基づいてシステムのいくつかのパラメータの値を推定する必要がある推定問題に対処するために使用されます。アプリケーションの数が増えるにつれて、時間的および空間的なパラメータの推定がより重要になります。アレイ処理は、過去数十年間にアクティブな領域として登場し、特定の推定タスク（空間および時間的処理）に対処するために、さまざまなセンサー（アンテナ）からのデータを使用および組み合わせる機能を中心に据えられていました。収集されたデータから抽出できる情報に加えて、フレームワークは、センサーアレイの形状に関する事前知識の利点を利用して推定タスクを実行します。アレイ処理は、レーダー、ソナー、地震探査、妨害防止、無線通信で使用されます 。アレイ処理をセンサーアレイとともに使用する主な利点の1つは、設置面積が小さいことです。アレイ処理に関連する問題には、使用するソースの数、その到着方向、信号波形などがあります。^{[1] [2] [3] [4]}

アレイ処理には 4 つの仮定があります。最初の仮定は、等方性および非分散性媒体のすべての方向に均一な伝播があるということです。2 番目の仮定は、遠距離場アレイ処理の場合、伝播の半径はアレイのサイズよりもはるかに大きく、平面波伝播があるということです。3 番目の仮定は、相関がないことを示す平均ゼロのホワイト ノイズと信号があるということです。最後に、最後の仮定は、結合がなく、キャリブレーションが完璧であるということです。^[1]

センサー アレイ信号処理の最終的な目標は、正確な形状記述を持つアンテナ セットで波動場をサンプリングして収集した利用可能な時間的および空間的情報を使用して、パラメーターの値を推定することです。キャプチャされたデータと情報の処理は、波動場が有限数の信号源 (エミッター) によって生成され、ソースを特徴付けて記述する信号パラメーターに関する情報が含まれているという仮定の下で行われます。上記の問題の定式化に関連するアプリケーションは多数あり、ソースの数、方向、および場所を指定する必要があります。読者の興味を引くために、アレイ処理に関連する最も重要なアプリケーションのいくつかについて説明します。

• レーダーおよびソナーシステム:

アレイ処理の概念は、アレイ処理の古典的なアプリケーションであるレーダーおよびソナー システムと密接に関連しています。これらのシステムでは、アンテナ アレイを使用して、ソースの位置を特定し、干渉をキャンセルし、地上の乱れを抑えます。レーダー システムは、基本的に、電波を使用してオブジェクトを検出するために使用されます。オブジェクトの範囲、高度、速度、方向を指定できます。レーダー システムは軍事機器として始まり、その後民間の世界に入りました。レーダー アプリケーションでは、さまざまなモードを使用できます。これらのモードの 1 つがアクティブ モードです。このモードでは、アンテナ アレイ ベースのシステムがパルスを放射し、戻りを待ちます。戻りを使用することで、速度、範囲、対象ターゲットの DOA (到着方向) などのパラメーターの推定が可能になります。パッシブ遠距離リスニング アレイを使用すると、DOA のみを推定できます。ソナー システム(音響航法および測距) は、水中を伝播する音波を使用して、水面上または水面下のオブジェクトを検出します。ソナー システムには、アクティブ システムとパッシブ システムの 2 種類があります。アクティブソナーでは、システムは音波を発し、その戻り音を聞き、パラメータを推定します。パッシブソナーでは、システムは基本的に、対象物体が発する音を聞きます。電波を使用するレーダーシステムと音波を使用するソナーシステムには違いがあります。ソナーが音波を使用する理由は、音波がレーダーや光波よりも水中で遠くまで伝わるためです。パッシブソナーでは、受信アレイは遠くの物体とその位置を検出する機能を備えています。変形可能なアレイは通常、アンテナが水中に引き込まれるソナーシステムで使用されます。アクティブソナーでは、ソナーシステムは音波（音響エネルギー）を発し、存在するエコー（反射波）を聞いて監視します。反射音波を使用して、速度、位置、方向などのパラメータを推定できます。レーダーシステムと比較したソナーシステムの難しさや制限は、水中での音波の伝搬速度が電波よりも遅いという事実から生じています。もう1つの制限の原因は、伝搬損失と散乱が大きいことです。これらすべての制限と困難にもかかわらず、ソナーシステムは水中アプリケーションにおける距離、位置、その他のパラメータの推定のための信頼できる技術であり続けています。^{[3] [5]}

NORSARは1968年にノルウェーで設立された独立した地質科学研究施設です。NORSARはそれ以来、世界中の地震活動を測定するためにアレイ処理に取り組んできました。^[6]彼らは現在、世界中の50の主要地震観測所と120の補助地震観測所で構成される国際監視システムに取り組んでいます。NORSARは、ノルウェーだけでなく世界中の地震活動の監視を改善するために、アレイ処理の改善に取り組んでいます。^[7]

• 通信（無線）

通信は、2 つ以上の当事者間で情報を交換するプロセスとして定義できます。過去 20 年間、無線通信システムは急速に成長しました。この成功は、通信理論と低消費電力設計プロセスの進歩の結果です。一般に、通信 (電気通信) は、電気信号 (有線通信) または電磁波 (無線通信) のいずれかの技術的手段によって行うことができます。アンテナ アレイは、従来の時間および周波数次元に加えて空間次元を利用することで、スペクトルの使用効率を高め、無線通信システムの精度を向上させるサポート技術として登場しました。アレイ処理および推定技術は、無線通信で使用されています。過去 10 年間、これらの技術は、無線通信における多数の問題の解決策となる理想的な候補として再検討されました。無線通信では、システムの品質とパフォーマンスに影響を与える問題は、さまざまな原因から発生する可能性があります。マルチユーザー (メディア マルチ アクセス) およびマルチパス (無線チャネル内の複数の散乱パスを介した信号伝搬) 通信モデルは、無線通信 (モバイル通信) で最も広く普及している通信モデルの 1 つです。

マルチユーザー通信環境の場合、マルチユーザーの存在によりユーザー間干渉の可能性が高まり、システムの品質とパフォーマンスに悪影響を与える可能性があります。モバイル通信システムでは、マルチパス問題は基地局が対処しなければならない基本的な問題の 1 つです。基地局は、深刻なマルチパスによるフェージングに対処するために空間ダイバーシティを使用しています。基地局は、ビームフォーミングと呼ばれる、より高い選択性を実現するために、複数の要素からなるアンテナ アレイを使用します。受信アレイは、他のユーザーからの干渉を回避しながら、一度に 1 人のユーザーの方向に向けることができます。

• 医療用途

アレイ処理技術は、医療および産業用途から大きな注目を集めています。医療用途では、医用画像処理分野がアレイ処理を使用する基本分野の1つでした。アレイ処理を使用するその他の医療用途には、病気の治療、心臓などの内臓の状態に関する情報を含む波形の追跡、生体磁気センサーアレイを使用した脳活動の特定と分析などがあります。^[8]

• 音声強調のためのアレイ処理

音声強調と処理は、アレイ処理の新時代の影響を受けたもう 1 つの分野です。音響フロントエンド システムのほとんどは、完全に自動化されたシステムになりました (電話など)。ただし、これらのシステムの動作環境には、他の音響ソースが混在しています。外部ノイズやスピーカー信号の音響結合により、目的の音声信号が圧倒され、減衰します。これらの外部ソースに加えて、スピーカーとマイクの相対的な距離により、目的の信号の強度が低下します。アレイ処理技術により、音声処理において、音声信号の品質を低下させたり、音声信号に悪影響を与えたりすることなく、ノイズやエコーを減衰させる新しい機会が開かれました。一般に、アレイ処理技術は、音声処理で計算能力 (計算回数) を削減し、システムの品質 (パフォーマンス) を向上させるために使用できます。信号をサブバンドの合計として表現し、サブバンド信号にキャンセル フィルターを適応させることで、必要な計算能力を削減し、より高性能なシステムを実現できます。複数の入力チャネルを利用することで、単一チャネルを使用するシステムに比べて高品質のシステムを設計することができ、単一チャネルを使用する場合には達成できない音源定位、追跡、分離などの問題を解決することができます。^[9]

• 天文学アプリケーションにおけるアレイ処理

天文学の環境には、目的の信号の品質に影響を与える外部信号とノイズが混在しています。天文学におけるアレイ処理アプリケーションのほとんどは、画像処理に関連しています。アレイは、単一チャネルでは達成できない高品質を実現するために使用されます。高画質により、定量分析や他の波長の画像との比較が容易になります。一般に、天文学アレイは、ビームフォーミング クラスと相関クラスの 2 つのクラスに分けられます。ビームフォーミングは、対象方向から合計アレイ ビームを生成する信号処理技術です。基本的には、方向性信号の送信または受信に使用されます。基本的な考え方は、フェーズド アレイ内の要素を組み合わせて、一部の信号が破壊的推論を受け、他の信号が建設的推論を受けるようにすることです。相関アレイは、アンテナ間のすべての可能な相関の記録からペアでオフラインで計算された、単一要素のプライマリ ビーム パターン全体の画像を提供します。

• その他のアプリケーション

これらのアプリケーションに加えて、アレイ処理技術に基づいて多くのアプリケーションが開発されています。補聴器アプリケーションのための音響ビームフォーミング、音響アレイを使用した未決定ブラインド音源分離、デジタル3D / 4D超音波イメージングアレイ、スマートアンテナ、合成開口レーダー、水中音響イメージング、化学センサーアレイなどです。^{[3] [4] [5]}

任意の位置と任意の方向（方向特性）を持つr個の任意のセンサーのアレイで構成されるシステムを考えてみましょう。これらのセンサーは、既知の中心周波数ωと位置θ1、θ2、θ3、θ4 ... θqのq個の狭帯域ソースによって生成された信号を受信し、信号は狭帯域であるため、アレイ全体の伝播遅延は信号帯域幅の逆数よりもはるかに小さく、複素エンベロープ表現を使用すると、アレイ出力は（重ね合わせの意味で）次のように表すことができます。^{[3] [5] [8]}
${\displaystyle \textstyle x(t)=\sum _{K=1}^{q}a(\theta _{k})s_{k}(t)+n(t)}$

どこ：

• ${\displaystyle x(t)}$アレイセンサーによって受信された信号のベクトルであり、
• ${\displaystyle s_{k}(t)}$は、アレイの周波数センサー1で受信されるk番目のソースから発信された信号であり、
• ${\displaystyle a(\theta _{k})}$は、配列の方向（ ）へのステアリングベクトルであり、${\displaystyle \theta_{k}}$
• τi(θk): 方向(θk)から到来する波形に対する最初のセンサーとi番目のセンサー間の伝播遅延。
• ${\displaystyle n(t)}$ノイズベクトルです。

同じ方程式はベクトルの形でも表現できます。
${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} (t)=A(\theta )s(t)+n(t)}$

ここで、M 個のスナップショットが時刻 t1、t2、... tM に取得されると仮定すると、データは次のように表現できます。
${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} (\theta )\mathbf {S} +\mathbf {N} }$

ここで、X と N は r × M 行列、S は q × M です。
${\displaystyle \mathbf {X} =[x(t_{1}),......,x(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {N} =[n(t_{1}),......,n(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {S} =[s(t_{1}),......,s(t_{M})]}$

問題の定義
「目標は、アレイ x(t1)… x(tM) の M スナップショットからソースの DOA θ1、θ2、θ3、θ4 …θq を推定することです。言い換えれば、t=1、2 … M にわたって観測された有限データセット {x(t)} が与えられたときに、受信アレイに衝突するエミッター信号の DOA を推定することです。これは基本的にデータの 2 次統計を使用して行われます。」^{[5] [8]}

この問題を解決するには（有効な解決策があることを保証するために）、運用環境や使用するモデルに条件や仮定を追加する必要がありますか？ソースの数、配列要素の数など、システムを指定するために使用されるパラメータは多数ありますが、最初に満たすべき条件はありますか？この目標に向けて、次の仮定を立てたいと思います：^{[1] [3] [5]}

1. 信号の数は既知であり、センサーの数よりも少ない（q < r）。
2. 任意の q ステアリング ベクトルの集合は線形独立です。
3. 等方性および非分散媒体 - すべての方向に均一に伝播します。
4. 平均ゼロのホワイトノイズと信号、相関なし。
5. ファーフィールド。

a. 伝播の半径 >> 配列のサイズ。

b. 平面波の伝播。

この調査では、観測プロセスにおける基礎となる信号の数 q は既知であると想定します。ただし、この値が不明な場合でも、この値を推定するための適切で一貫した手法が存在します。

一般的に、パラメータ推定技術は、スペクトルベースの方法とパラメトリックベースの方法に分類できます。前者では、関心のあるパラメータのスペクトルのような関数を形成します。問題の関数の最も高い（分離された）ピークの位置が、DOA推定値として記録されます。一方、パラメトリック手法では、関心のあるすべてのパラメータを同時に検索する必要があります。スペクトルベースのアプローチと比較してパラメトリックアプローチを使用する基本的な利点は、計算の複雑さが増すという犠牲はありますが、精度が高いことです。^{[1] [3] [5]}

スペクトル ベースのアルゴリズム ソリューションは、さらにビームフォーミング技術とサブスペース ベースの技術に分類できます。

アンテナアレイを使用して信号源を特定し、自動的に位置を特定するために最初に使用された方法は、ビームフォーミング技術でした。ビームフォーミングの背後にある考え方は非常に単純です。アレイを一度に1方向に操縦し、出力電力を測定します。最大電力が得られる操縦位置から、DOA推定値が得られます。アレイ応答は、センサー出力の線形結合を形成することによって操縦されます。^{[3] [5] [8]}アプローチの概要 ここで、Rxはサンプル共分散行列です。異なるビームフォーミングアプローチは、異なる重みベクトルFの選択に対応します。ビームフォーミング技術を使用する利点は、シンプルで使いやすく、理解しやすいことです。一方、この技術を使用する欠点は、解像度が低いことです。

${\displaystyle \textstyle 1.\ R_{x}={\frac {1}{M}}\sum _{t=1}^{M}\mathbf {x} (t)\mathbf {x} ^{*}(t)}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Calculate\ B(W_{i})=F^{*}R_{x}F(W_{i})}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Find\ Peaks\ of\ B(W_{i})\ for\ all\ possible\ w_{i}'s.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Calculate\ \theta _{k},\ i=1,....q.}$

過去の多くのスペクトル法では、分析を実行するために共分散行列のスペクトル分解が利用されてきた。共分散行列の固有構造が明示的に呼び出され、その固有の特性が直接使用されて、特定の観測プロセスの根底にある推定問題の解決策が提供されるようになったとき、画期的な進歩がもたらされた。空間スペクトル推定技術のクラスは、空間共分散行列の固有値分解に基づいている。このアプローチの背後にある理論的根拠は、信号方向に対応するステアリング ベクトル a(θ) の選択を強調したいということである。この方法は、到着方向が行列の固有構造を決定するという特性を利用している。サブスペース ベースの方法への大きな関心は、主にMUSIC (Multiple Signal Classification)
アルゴリズム の導入によるものである。MUSIC はもともと DOA 推定器として提示されたが、その後の開発でスペクトル分析/システム識別問題にうまく戻ってきた。^{[3] [5] [8]}

ノイズ固有ベクトル行列のアプローチの概要
${\displaystyle \textstyle 1.\ Subspace\ decomposition\ by\ performing\ eigenvalue\ decomposition:}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{*}+\sigma ^{2}I=\sum _{k=1}^{M}\lambda _{k}e_{k}r_{k}^{*}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ span\{\mathbf {A} \}=spane\{e1,....,e_{d}\}=span\{\mathbf {E} _{s}\}.}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Check\ which\ a(\theta )\ \epsilon span\{\mathbf {E} _{s}\}\ or\ \mathbf {P} _{A}a(\theta )\ or\ P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta ),\ where\ \mathbf {P} _{A}\ is\ a\ projection\ matrix.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Search\ for\ all\ possible\ \theta \ such\ that:\left|P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta )\right|^{2}=0\ or\ M(\theta )={\frac {1}{P_{A}a(\theta )}}=\infty }$
${\displaystyle \textstyle 5.\ After\ EVD\ of\ R_{x}:}$
${\displaystyle \textstyle P_{A}^{\perp }=I-E_{s}E_{s}^{*}=E_{n}E_{n}^{*}}$
${\displaystyle E_{n}=[e_{d}+1,....,e_{M}]}$

MUSIC スペクトル アプローチでは、スナップショット x (t)、t=1、2 ...M で表される確率過程の単一の実現を使用します。MUSIC 推定値は一貫性があり、スナップショットの数が無限に増えても、真のソース方位に収束します。MUSIC アプローチの基本的な欠点は、モデル エラーの影響を受けやすいことです。MUSIC では、コストのかかるキャリブレーション手順が必要であり、キャリブレーション手順のエラーの影響を非常に受けやすくなります。アレイ マニホールドを定義するパラメーターの数が増えると、キャリブレーションのコストも増加します。

前のセクションで紹介したスペクトルベースの方法は計算上魅力的ですが、必ずしも十分な精度が得られるとは限りません。特に、相関の高い信号がある場合、スペクトルベースの方法のパフォーマンスは不十分な場合があります。代替案としては、基礎となるデータ モデルをより完全に活用し、いわゆるパラメトリック アレイ処理方法を使用することです。効率を上げるためにこのような方法を使用する場合のコストは、アルゴリズムが推定値を見つけるために通常多次元検索を必要とすることです。信号処理で最も一般的に使用されるモデル ベースのアプローチは、最大尤度 (ML) 手法です。この方法では、データ生成プロセスに統計フレームワークが必要です。ML 手法をアレイ処理問題に適用する場合、信号データ モデルの仮定に応じて 2 つの主な方法が検討されています。確率的 ML によると、信号はガウス ランダム プロセスとしてモデル化されます。一方、決定論的 ML では、信号は到着方向と併せて推定する必要がある未知の決定論的量と見なされます。^{[3] [5] [8]}

確率的最大尤度法は、プロセス x(t) が 2 次共分散行列によって完全に記述される定常で平均ゼロのガウス過程であるという仮定の下で、信号波形をガウスランダム過程としてモデル化することによって得られます。このモデルは、測定値が狭帯域通過フィルタを使用して広帯域信号をフィルタリングすることによって得られる場合、妥当なモデルです。アプローチの概要

${\displaystyle \textstyle 1.\ Find\ W_{K}\ to\ minimize:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Use\ the\ langrange\ method:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}+2\mu (a^{*}(\theta _{k})w_{k}\Leftrightarrow 1)}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Differentiating\ it,\ we\ obtain}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}w_{k}=\mu a(\theta _{k}),\ or\ W_{k}=\mu R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ since}$
${\displaystyle \textstyle a^{*}(\theta _{k})W_{k}=\mu a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})=1}$
${\displaystyle \textstyle Then}$
${\displaystyle \textstyle \mu =a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 5.\ Capon's\ Beamformer}$
${\displaystyle \textstyle W_{k}=R_{x}^{-1}a(\theta _{k})/(a^{*}(\theta _{k})R_{x}^{-1}a(\theta _{k}))}$

想定データ モデルの背景ノイズと受信機ノイズは多数の独立したノイズ源から発生するものと考えられるが、送信信号の場合は通常同じではない。したがって、ノイズを定常ガウス ホワイト ランダム プロセスとしてモデル化し、信号波形は決定論的 (任意) かつ未知であると考えるのが自然である。決定論的 ML によれば、信号は未知かつ決定論的な量とみなされ、到着方向と併せて推定する必要がある。これは、信号が通常のランダム変数とは程遠く、信号の推定が同等に重要であるデジタル通信アプリケーションにとって自然なモデルである。^{[3] [4]}

周波数の関数としてペアワイズ相関を計算する問題は、数学的には同等だが異なる 2 つの方法で解決できます。離散フーリエ変換(DFT) を使用すると、時間領域とスペクトル領域の両方で信号を分析できます。最初のアプローチは「XF」相関です。これは、最初に時間領域の「ラグ」畳み込みを使用してアンテナを相互相関させ (「X」演算)、次に結果の各ベースラインのスペクトル (「F」演算) を計算するためです。2 番目のアプローチ「FX」は、畳み込みがフーリエ領域での乗算と同等であるという事実を利用します。最初に個々のアンテナのスペクトルを計算し (F 演算)、次に各スペクトル チャネルのすべてのアンテナをペアワイズで乗算します (X 演算)。FX 相関器は、計算の複雑さがO (N ² ) であるという点で、XF 相関器よりも優れています。したがって、FX 相関器は、より大きなアレイでより効率的です。^[10]

マイケルソン干渉計のような相関分光計は、信号間の時間差を変化させて入力信号のパワースペクトルを取得します。信号のパワースペクトルは、フーリエ変換によって自己相関関数に関連付けられます。 ^[11]${\displaystyle S_{\text{XX}}(f)}$

ここで、信号Xの自己相関関数は 時間遅延の関数として${\displaystyle R_{\text{XX}}(\tau )}$${\displaystyle \tau }$

空間干渉法による相互相関分光法は、式Eq.IIで信号を電圧に置き換えるだけで、相互相関と相互スペクトルを生成することができます。 ${\displaystyle V_{Y}(t)}$${\displaystyle R_{\text{XY}}(\tau )}$${\displaystyle S_{\text{XY}}(f)}$

電波天文学では、夜空にある意味のある物体や出来事を検出し観測するために、RF 干渉を軽減する必要があります。

干渉源の空間シグネチャが干渉の方向とその時間変動の既知の関数ではない電波望遠鏡の配列の場合、信号共分散行列は次の形式になります。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{v}+\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} }$

ここで、は可視性共分散行列（ソース）、は干渉源のパワー、はノイズパワー、 はエルミート転置を表します。 投影行列 を構築することができ、これを信号共分散行列で左右に乗算すると、干渉項がゼロになります。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{v}}$${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{n}^{2}}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {I} -\mathbf {a} (\mathbf {a} ^{\dagger }\mathbf {a} )^{-1}\mathbf {a} ^{\dagger }}$

したがって、修正された信号共分散行列は次のようになります。

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} _{v}\mathbf {P} _{a}^{\perp }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

は一般には知られていないため、の固有分解、特に の直交補集合であるノイズ部分空間の正規直交基底を含む行列を使用して構築することができます。このアプローチの欠点は、可視性共分散行列の変更とホワイトノイズ項の色付けです。^[12]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

この方式は、干渉プラスノイズ項をスペクトル的に白色にすることを試みます。これを行うには、左と右に干渉プラスノイズ項の逆平方根係数を乗算します。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} (\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}}$

計算には厳密な行列操作が必要ですが、結果は次の形式になります。

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} _{v}(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}+\mathbf {I} }$

このアプローチでは、より多くの計算を必要とする行列操作が必要となり、可視性共分散行列も変更されます。^[13]

は未知であるため、最良の推定値はの固有分解の支配的な固有ベクトルであり、同様に干渉電力の最良の推定値は であり、ここで はの支配的な固有値です。信号共分散行列から干渉項を減算することができます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{\dagger }}$${\displaystyle \sigma _{s}^{2}\approx \lambda _{1}-\sigma _{n}^{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} -\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }}$

右と左を掛け合わせると： ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}\approx (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })\mathbf {R} (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })=\mathbf {R} -\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger }\lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})}$

ここで、適切なを選択することによって得られる。この方式では干渉項の正確な推定が必要となるが、ノイズ項やソース項は変更されない。^[14]${\displaystyle \lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})\approx \sigma _{s}^{2}}$${\displaystyle \alpha }$

アレイ処理技術は、信号処理における画期的な進歩です。アレイ処理技術を使用して解決できるアプリケーションや問題が数多く紹介されています。これらのアプリケーションに加えて、今後数年間でアレイ信号処理の形式を含むアプリケーションの数が増えるでしょう。産業環境やアプリケーションで自動化が一般的になるにつれて、アレイ処理の重要性が増すことが大いに期待されています。デジタル信号処理とデジタル信号処理システムのさらなる進歩により、一部の推定技術で要求される高度な計算要件もサポートされるでしょう。

この記事では、アレイ処理技術の形式を含む最も重要なアプリケーションをリストすることにより、アレイ処理の重要性を強調しました。アレイ処理のさまざまな分類、スペクトルおよびパラメトリック ベースのアプローチについて簡単に説明します。最も重要なアルゴリズムのいくつかを取り上げ、これらのアルゴリズムの利点と欠点についても説明して議論します。

• フェーズドアレイ
• 空間時間適応処理
• ピリオドグラム
• マッチしたフィルタ
• ウェルチ法
• バートレット法
• サム

• Johnson, DH; Dudgeon, DE (1993).アレイ信号処理. Prentice Hall.
• Van Trees, HL (2002)。最適アレイ処理。ニューヨーク: Wiley。
• Krim, H.; Viberg, M. (1996 年 7 月). 「アレイ信号処理研究の 20 年間」(PDF) . IEEE Signal Processing Magazine : 67–94. doi :10.1109/79.526899. 2013 年 9 月 9 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2010 年12 月 8 日に取得。
• S. Haykin および KJR Liu (編集者)、「アレイ処理およびセンサー ネットワークのハンドブック」、信号処理、通信、および制御シリーズ向け適応型学習システム、2010 年。
• E. Tuncer および B. Friedlander (編集者)、「Classical and Modern Direction-of-Arrival Estimation」、Academic Press、2010 年。
• AB Gershman、配列処理コースウェア
• JWR Griffiths教授、「アダプティブアレイ処理」、IEEPROC、第130巻、1983年。
• N. Petrochilos、G. Galati、E. Piracci、「マルチラテレーションコンテキストにおける SSR 信号のアレイ処理、10 年間の調査」