ハイパスフィルタ

ハイパスフィルタ（HPF ）は、特定のカットオフ周波数よりも高い周波数の信号を通過させ、カットオフ周波数よりも低い周波数の信号を減衰させる電子フィルタです。各周波数の減衰量は、フィルタの設計によって異なります。ハイパスフィルタは通常、線形時間不変システムとしてモデル化されます。オーディオエンジニアリングの分野では、ローカットフィルタまたはバスカットフィルタと呼ばれることもあります。 ^[1]ハイパスフィルタには、非ゼロ平均電圧に敏感な回路や無線周波数デバイスからのDCをブロックするなど、多くの用途があります。また、ローパスフィルタと組み合わせてバンドパスフィルタを作成することもできます。

光学領域では、フィルターは周波数ではなく波長によって特徴付けられることが多いです。ハイパスとローパスは反対の意味を持ち、「ハイパス」フィルター (より一般的には「ショートパス」) はより短い波長 (より高い周波数) のみを通過させ、「ローパス」フィルター (より一般的には「ロングパス」) はその逆です。

電子工学において、フィルタとは、入力ポートに印加された信号（時間によって変化する電圧または電流）から周波数成分を除去する2 ポートの 電子回路です。ハイパス フィルタは、カットオフ周波数と呼ばれる特定の周波数以下の周波数成分を減衰させ、それより高い周波数成分を通過させます。これは、特定の周波数より高い周波数を減衰させるローパス フィルタや、特定の周波数帯域を通過させ、その帯域より高い周波数と低い周波数の両方を減衰させるバンドパス フィルタとは対照的です 。

光学において、ハイパス フィルターは、特定の波長よりも長い光を通過させ、より短い波長の光を減衰させる、透明または半透明の色付き素材の窓です。光は周波数ではなく、周波数と反比例する波長で測定されることが多いため、カットオフ周波数未満の光周波数を減衰させるハイパス光学フィルターは、より長い波長を減衰させるショートパス フィルターと呼ばれることがよくあります。

抵抗器とコンデンサまたはインダクタのいずれかを 1 次ハイパス フィルタとして構成できます。図 1 に示す単純な 1 次容量性ハイパス フィルタは、コンデンサと抵抗器の直列接続に入力電圧を印加し、抵抗器の電圧を出力として使用することで実装されます。この線形時間不変システムの伝達関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}.}$

抵抗と静電容量の積（R × C）は時定数（τ）であり、カットオフ周波数f _cに反比例します。つまり、

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,}$

ここで、f _cはヘルツ、τは秒、Rはオーム、C はファラッドです。フィルタの周波数応答は、カットオフ周波数で無限大の周波数を基準にして -3dB に達します。

図2は、オペアンプを使用した1次ハイパスフィルタのアクティブな電子実装を示しています。この線形時間不変システムの伝達関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.}$

この場合、フィルタの通過帯域ゲインは−R ₂ / R ₁で、カットオフ周波数は

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,}$

このフィルタはアクティブであるため、通過帯域ゲインが1ではない場合があります。つまり、高周波信号はR ₂ / R ₁によって反転され、増幅されます。

これらの 1 次ハイパス フィルタはすべて、フィルタのカットオフ周波数よりはるかに低い周波数帯域の信号に対して微分演算を実行するため、微分器と呼ばれます。

^{高次のフィルタは、ストップバンドの傾斜が急峻で、n次}フィルタの傾斜は10 倍あたり 20n dB になります。高次のフィルタは、これらの 1 次フィルタをカスケード接続するだけで実現できます。パッシブ フィルタを連鎖させる場合はインピーダンス整合と負荷を考慮する必要がありますが、アクティブ フィルタは、各ステージでオペアンプの出力によって信号が復元されるため、簡単に連鎖させることができます。高次のフィルタにはさまざまなフィルタ トポロジとネットワーク合成フィルタがあり、設計が容易になります。

離散時間ハイパス フィルタも設計できます。離散時間フィルタの設計はこの記事の範囲外ですが、簡単な例として、上記の連続時間ハイパス フィルタを離散時間で実現したものを示します。つまり、連続時間の動作を離散化できます。

上記の図1の回路から、キルヒホッフの法則と静電容量の定義によれば、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}}$

ここで、は時刻にコンデンサに蓄えられた電荷です。式(Q)を式(I)に代入し、式(I)を式(V)に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle Q_{c}(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)}$

この方程式は離散化できます。簡単にするために、入力と出力のサンプルが、時間で区切られた等間隔の時点で取得されると仮定します。 のサンプルをシーケンス で表し、 を同じ時間点に対応する シーケンス で表します。次の置換を行います。${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle V_{\text{in}}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle V_{\text{out}}}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)}$

そして、項を並べ替えると、再帰関係が得られる。

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{Contribution from change in input}}}$

つまり、この離散時間実装の単純な連続時間RCハイパスフィルタは、

${\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{where}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}$

定義により、。パラメータの式は、サンプリング周期とに関して等価な時定数を生成します。 ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle RC}$${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)}$。

思い出して

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$それで${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}$

と は次のように関連しています。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

そして

${\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}$。

の場合、時定数はサンプリング周期に等しくなります。 の場合、はサンプリング間隔よりも大幅に小さくなり、 になります。 ${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle \alpha \ll 0.5}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T}}$

フィルタの再帰関係は、入力サンプルと前の出力に基づいて出力サンプルを決定する方法を提供します。次の疑似コードアルゴリズムは、等間隔のサンプルを想定して、一連のデジタル サンプルに対するハイパス フィルタの効果をシミュレートします。

// 入力サンプルに応じてRCハイパスフィルタの出力サンプルを返します。
// 時間間隔dt、および時間定数RC 
function highpass( real[1..n] x, real dt, real RC)
     var  real[1..n] y
     var  real α := RC / (RC + dt)
    y[1] := x[1]
    iは2からnまで
        y[i] := α × y[i−1] + α × (x[i] − x[i−1])
    yを
返す

各出力を計算するループは、次のように同等に リファクタリングできます。${\displaystyle n}$

    iは2からnまで
        y[i] := α × (y[i−1] + x[i] − x[i−1])

しかし、前の形式は、パラメータαが以前の出力y[i-1]と現在の入力の変化（x[i] - x[i-1]）の影響をどのように変化させるかを示しています。特に、

• α が大きいということは、出力が非常にゆっくりと減衰する一方で、入力の小さな変化によっても強く影響を受けることを意味します。上記のパラメータ α と時定数 の関係により、α が大きいということは、フィルタのコーナー周波数が大きいこと、したがってコーナー周波数が低いことを意味します。したがって、このケースは、非常に狭いストップバンドを持つハイパス フィルタに相当します。このフィルタは小さな変化によって励起され、以前の出力値を長時間保持する傾向があるため、比較的低い周波数を通過させることができます。ただし、定数入力 (つまり、{{{1}}}を持つ入力) は常にゼロに減衰します。これは、大きな を持つハイパス フィルタで予想されるとおりです。${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$
• α が小さいということは、出力が急速に減衰し、出力を大きく変化させるには入力に大きな変化 (つまり、(x[i] - x[i-1])が大きい) が必要になることを意味します。上記のパラメータ α と時定数の関係により、α が小さいということはフィルタのコーナー周波数が小さいこと、したがってコーナー周波数が高いことを意味します。したがって、このケースは非常に広いストップバンドを持つハイパスフィルタに相当します。大きな (つまり高速な) 変化が必要であり、以前の出力値をすぐに忘れてしまう傾向があるため、α が小さいハイパスフィルタで予想されるように、比較的高い周波数しか通過させることができません。${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$

ハイパス フィルタには多くの用途があります。オーディオ クロスオーバーの一部として使用され、スピーカーに干渉したり損傷を与えたりする可能性のある低音信号を減衰しながら、高周波数をツイーターに導きます。このようなフィルタがスピーカーキャビネットに組み込まれている場合、通常はパッシブ フィルタであり、ウーファー用のローパス フィルタも含まれているため、コンデンサとインダクタの両方が使用されることがよくあります (ただし、ツイーター用の非常に単純なハイパス フィルタは、直列コンデンサのみで構成できます)。たとえば、抵抗が 10 Ω のツイーターに上記の式を適用すると、カットオフ周波数が 5 kHz のコンデンサ値が決定されます。 、または約 3.2 μF になります。 ${\displaystyle C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28\times 5000\times 10}}=3.18\times 10^{-6}}$

インダクタ（寄生結合を起こしやすく、高価で、内部抵抗が大きい場合がある）を使わずに良質のサウンドを提供する代替手段は、アクティブRCフィルタによるバイアンプ方式か、各スピーカーに個別のパワーアンプを備えたアクティブデジタルフィルタ方式を採用することです。このような低電流・低電圧のラインレベルクロスオーバーはアクティブクロスオーバーと呼ばれます。^[1]

ランブルフィルターは、可聴範囲の下限付近またはそれ以下の不要な音を除去するために適用されるハイパスフィルターです。たとえば、ノイズ（足音、レコードプレーヤーやテープデッキのモーター音など）は、不要なノイズであるか、プリアンプのRIAAイコライゼーション回路に過負荷をかける可能性があるため、除去されることがあります。^[1]

ハイパスフィルタは、多くのオーディオパワーアンプの入力部のAC結合にも使用され、アンプに損傷を与え、アンプのヘッドルームを奪い、スピーカーのボイスコイルで廃熱を生成する可能性のあるDC電流の増幅を防ぎます。 1960年代初頭にクラウンインターナショナルによって製造されたプロオーディオモデルDC300というアンプには、ハイパスフィルタリングがまったくなく、入力部の一般的な9ボルトバッテリーのDC信号を増幅して、緊急時にミキシングコンソールの電源として18ボルトDCを供給するために使用できました。^[2]ただし、そのモデルの基本設計は、1980年代後半に開発されたCrown Macro-Techシリーズなどの新しい設計に置き換えられました。このシリーズには、入力に10 Hzのハイパスフィルタリング、出力に切り替え可能な35 Hzのハイパスフィルタリングが含まれていました。^[3]もう一つの例はQSC Audio PLXアンプシリーズで、オプションの50Hzおよび30Hzハイパスフィルターがオフのときに入力に適用される内部5Hzハイパスフィルターが含まれています。^[4]

ミキシング コンソールには、多くの場合、各チャンネル ストリップにハイパス フィルタリングが含まれています。一部のモデルには、80 Hz または 100 Hz の固定スロープ、固定周波数ハイパス フィルタがあり、これを有効にできます。他のモデルには、スイープ可能なハイパス フィルタがあります。これは、Midas Heritage 3000 では 20 ～ 400 Hz、 Yamaha M7CL デジタル ミキシング コンソールでは 20 ～ 20,000 Hz など、指定された周波数範囲内で設定できる固定スロープのフィルタです。ベテラン システム エンジニアでライブ サウンド ミキサーの Bruce Main は、キック ドラム、ベース ギター、ピアノなど、有用な低周波音を含むソースを除くほとんどのミキサー入力ソースでハイパス フィルタを有効にすることを推奨しています。Main は、 DI ユニット入力 (マイク入力とは対照的) は、低周波ステージ ウォッシュ(サブウーファーや拡声システムから発せられてステージに回り込む低周波音)による変調を受けないため、ハイパス フィルタリングは必要ないと述べています。メインは、ハイパスフィルターは、近接効果（非常に近い音源の低周波ブースト）を持つ指向性マイクによく使用されると述べています。この低周波ブーストは、通常、200 Hz または 300 Hz までの問題を引き起こしますが、メインは、コンソールで 500 Hz のハイパスフィルター設定が役立つマイクを見たことがあると述べています。^[5]

ハイパスフィルタとローパスフィルタは、デジタル画像処理においても、空間領域または周波数領域で行われる設計を使用して、画像の変更、強調、ノイズ低減などを実行するために使用されます。^[6]画像編集ソフトウェアで使用されるアンシャープマスキング、またはシャープニング操作は、ハイパスフィルタを一般化したハイブーストフィルタです。

• DSLフィルタ
• バンドストップフィルタ
• バイアスティー
• 差別化要因
• 畳み込み
• 循環畳み込み

ウィキメディア・コモンズには、ハイパスフィルターに関連するメディアがあります。

• 一般的なインパルス応答
• ECE 209: LTI システムとしての回路のレビュー、(電気) LTI システムの数学的分析に関する短い入門書。
• ECE 209: 位相シフトの原因、ハイパス フィルタの位相シフトの原因を直感的に説明します。また、三角関数の恒等式を使用して、単純なパッシブ LPF伝達関数を検証します。