リベットの定理

リベットの定理（以前はイプシロン予想またはε予想と呼ばれていた）は、数論の一部である。モジュラー形式に関連するガロア表現の特性に関する。ジャン＝ピエール・セールによって提唱され、ケン・リベットによって証明された。この証明は、フェルマーの最終定理（FLT）の証明に向けた重要な一歩であった。セールおよびリベットによって示されたように、谷山・志村予想（当時は未解決であった）とイプシロン予想を合わせると、FLTが真であることが示唆される。

数学的に言えば、リベットの定理は、楕円曲線に関連付けられたガロア表現が特定の特性を持つ場合、その曲線はモジュラーではないことを示しています（同じ表現を生み出すモジュラー形式は存在できないという意味で）。^[1]

声明

$f を$ Γ $0$ $($ $qN$ $)$ $上$ の重み 2 の新形式、つまり $q が$ $N$ を割り切れないレベル $qN$ のものとし、絶対既約な 2 次元 mod $p$ ガロア表現 $ρ$ $f,p は$ $q$ $\neq$ $p$ ならば $q$ で不分岐であり、 $q$ $=$ $p$ で有限平坦であるとする。すると、レベル $N$ の重み 2 の新形式 $g が$ 存在し、

\rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.

特に、 $E が$ 上の楕円曲線で導体 $qN$ の場合、モジュラリティ定理は、レベル $qN$ の重み 2 の新形式 $f が$ 存在して、 f の2 次元 mod $p$ ガロア表現 $ρ$ $f, p$ $が$ E $の$ 2次元 mod $p$ ガロア表現 $ρ$ $E, p$ と同型になることを保証します。リベットの定理を $ρ$ $E$ $,$ $p$ $に適用するには、 ρ$ $E, p$ の既約性と分岐をチェックするだけで十分です。テイト曲線の理論を使用して、 p が最小判別式 $Δ$ $E$ $にq$ が現れるべき乗を割り切る場合、 $ρ$ $E, p は$ $q$ $\neq$ $p$ $で$ 分岐せず、 $q$ $=$ $p$ で有限平坦であることを証明できます。次に、リベットの定理は、レベル $Nの重み 2 の新形式$ $g が存在して、$ $ρ$ $g$ $,$ $p$ $\approx$ $ρ$ $E$ $,$ $p$ であることを意味します。 $\mathbb {Q}$

レベル低下

リベットの定理は、導体 $qN$ の楕円曲線 $Eから始めても、$ $ρ$ $E, p$ $\approx$ $ρ$ $E$ $'$ $,$ $p$ となるレベル $N$ の楕円曲線 $E$ $'$ $が存在するとは限らないことを述べています。レベルN$ の新しい形式 $g は$ 有理フーリエ係数を持たない可能性があり、したがって楕円曲線ではなく、より高次元のアーベル多様体に関連付けられている可能性があります。たとえば、クレモナデータベースの楕円曲線 4171a1 は、次の式で与えられます。

E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595

導体 $43 \times 97$ と判別式 $437 \times 97 3$ は、mod 7 を導体 97 の楕円曲線にレベル下げしません。むしろ、mod $p$ ガロア表現は、レベル 97 の無理数新形式 $g$ のmod $p$ ガロア表現と同型です。

しかし、レベルを下げた新形式のレベル $Nに比べて$ $p が十分に大きい場合、有理数新形式（例えば楕円曲線）は別の有理数新形式（例えば楕円曲線）にレベルを下げなければならない。特に$ $p$ $≫$ $N$ $N$ $1+$ $ε$ の場合、有理数新形式の mod $pガロア表現はレベル$ $N$ の無理数新形式と同型にはならない。^[2]

同様に、フレイ・マズール予想は、十分に大きい $p$ （導体 $N$ とは独立）に対して、同型の mod $p$ ガロア表現を持つ楕円曲線は実際には同種であり、したがって同じ導体を持つことを予測します。したがって、有理数新形式間の非自明なレベル低下は、大きな $p （ p > 17）$ に対しては発生しないと予測されます。

歴史

イヴ・エルグーアルク [fr]は、その論文の中で、フェルマー方程式の解（ a、b、c）を別の数学的対象である楕円曲線と関連付けるというアイデアを考案した。 ^[3]pが奇数の素数で、a 、 b 、 cが正の整数で、

a^{p}+b^{p}=c^{p},

対応するフレイ曲線は、次の式で与えられる代数曲線である。

y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).

これは上で定義された種数 1 の非特異代数曲線であり、その射影完備化は上の楕円曲線です。 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

1982年、ゲルハルト・フライは、現在ではフライ曲線と呼ばれている同じ曲線の珍しい性質に注目した。^[4]これは、FLTに対する反例がモジュラーではない曲線を作成することを示し、フェルマーと谷山の間の架け橋となった。谷山-志村予想はFLTを意味するとフライが示唆したとき、この予想はかなりの注目を集めた。しかし、彼の議論は完全ではなかった。^[5] 1985年、ジャン＝ピエール・セールは、フライ曲線はモジュラーではあり得ないと提案し、部分的な証明を示した。^[6]^[7]これは、谷山-志村予想の半安定ケースの証明はFLTを意味することを示した。セールは完全な証明を提供しなかったため、欠けている部分はイプシロン予想またはε予想として知られるようになった。1986年夏、ケネス・アラン・リベットがイプシロン予想を証明し、それによってモジュラー定理はFLTを意味することを証明した。^[8]

名前の由来は「谷山・志村予想＋ε⇒フェルマーの最終定理」のεの部分から。

意味合い

$指数p \geq 5$ ^[8]のフェルマー方程式が非ゼロの整数 $a 、 b 、 c$ に解を持つと仮定する。対応するフレイ曲線 $E a p 、 b p 、 c p$ は、最小判別式 $Δが$ $2 -8 (abc) 2 p$ に等しく、導体 $Nが$ $abc$ の根号、すなわち $abc を$ 割り切るすべての異なる素数の積である楕円曲線である。方程式 $a$ $p$ $+$ $b$ $p$ $=$ $c$ $p$ $を初等的に考えると、 a$ $、$ $b 、 c のうちの 1 つが偶数であり、したがって N も偶数であることが明らかである。谷山-志村予想により、 E はモジュラー楕円曲線である。 N 内の a 、 b$ $、$ $c$ を割り切るすべての $奇数$ の素数は、 $最小$ 判別 $式$ $Δ$ $の$ $p$ $乗$ に $現れる$ $ので$ $、$ リベットの定理により、 $p を$ 法とする反復レベル降下により、導体からすべての奇数の素数が取り除かれる。しかし、モジュラー曲線 $X$ $0$ $(2)$ の種数は0であるため、レベル2の新しい形式は残りません（レベルNの新しい形式は $X$ $0$ $($ $N$ $)$ 上の微分です）。

参照

注記

^ 「フェルマーの最終定理の証明」 2008-12-10. 2008-12-10時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ シリマン、ジェシー、ヴォクト、イザベル( 2015)。「ガロア表現によるルーカス数列のべき乗」。アメリカ数学会紀要。143 (3): 1027–1041。arXiv : 1307.5078。CiteSeerX 10.1.1.742.7591。doi : 10.1090 / S0002-9939-2014-12316-1。MR 3293720。S2CID 16892383。
^ Helleguearch、イヴ (1972)。「クールブの楕円形とフェルマーの方程式」。博士論文。BnF 359121326。
^ Frey, Gerhard (1982)、「Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven」[フェルマー曲線とねじれたモジュラー曲線に関する有理点]、J. Reine Angew.数学。 (ドイツ語)、1982 (331): 185–191、doi :10.1515/crll.1982.331.185、MR 0647382、S2CID 118263144
^ Frey, Gerhard (1986)、「安定した楕円曲線と特定のディオファントス方程式の関連」、Annales Universitatis Saraviensis。シリーズMathematicae、1 (1): iv+40、ISSN 0933-8268、MR 0853387
^ Serre, J.-P. (1987)、「Lettre à J.-F. Mestre [J.-F. Mestre への手紙]」、Current Trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, California, 1985)、Contemporary Mathematics (フランス語)、第 67 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: American Mathematical Society、pp. 263–268、doi :10.1090/conm/067/902597、ISBN 9780821850749、MR 0902597
^ Serre, Jean-Pierre (1987)、「Sur les représentations modulaires degré 2 de Gal( Q / Q )」、Duke Mathematical Journal、54 (1): 179–230、doi :10.1215/S0012-7094-87- 05413-5、ISSN 0012-7094、MR 0885783
^ ab Ribet, Ken (1990). 「モジュラー形式から生じる Gal(Q/Q) のモジュラー表現について」(PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. MR 1047143. S2CID 120614740.

参考文献

ケネス・リベット、谷山・志村予想からフェルマーの最終定理まで。トゥールーズ科学大学の年次報告書。 5、11番1 (1990)、p. 116-139。
Andrew Wiles (1995 年 5 月). 「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」(PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR 2118559.
Richard Taylorと Andrew Wiles ( 1995年5 月)。「特定の Hecke 代数の環理論的性質」(PDF)。Annals of Mathematics。141 ( 3 ) : 553–572。CiteSeerX 10.1.1.128.531。doi : 10.2307 /2118560。ISSN 0003-486X。JSTOR 2118560。OCLC 37032255。Zbl 0823.11030 。
フレイ曲線とリベットの定理

外部リンク

ケン・リベットとフェルマーの最終定理ケビン・バザード著2008年6月28日

[1] 「フェルマーの最終定理の証明」 2008-12-10. 2008-12-10時点のオリジナルよりアーカイブ。

[2] シリマン、ジェシー、ヴォクト、イザベル( 2015)。「ガロア表現によるルーカス数列のべき乗」。アメリカ数学会紀要。143 (3): 1027–1041。arXiv : 1307.5078。CiteSeerX 10.1.1.742.7591。doi : 10.1090 / S0002-9939-2014-12316-1。MR 3293720。S2CID 16892383。

[3] Helleguearch、イヴ (1972)。「クールブの楕円形とフェルマーの方程式」。博士論文。BnF 359121326。

[4] Frey, Gerhard (1982)、「Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven」[フェルマー曲線とねじれたモジュラー曲線に関する有理点]、J. Reine Angew.数学。 (ドイツ語)、1982 (331): 185–191、doi :10.1515/crll.1982.331.185、MR 0647382、S2CID 118263144

[5] Frey, Gerhard (1986)、「安定した楕円曲線と特定のディオファントス方程式の関連」、Annales Universitatis Saraviensis。シリーズMathematicae、1 (1): iv+40、ISSN 0933-8268、MR 0853387

[6] Serre, J.-P. (1987)、「Lettre à J.-F. Mestre [J.-F. Mestre への手紙]」、Current Trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, California, 1985)、Contemporary Mathematics (フランス語)、第 67 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: American Mathematical Society、pp. 263–268、doi :10.1090/conm/067/902597、ISBN 9780821850749、MR 0902597

[7] Serre, Jean-Pierre (1987)、「Sur les représentations modulaires degré 2 de Gal( Q / Q )」、Duke Mathematical Journal、54 (1): 179–230、doi :10.1215/S0012-7094-87- 05413-5、ISSN 0012-7094、MR 0885783

[ribet-8] Ribet, Ken (1990). 「モジュラー形式から生じる Gal(Q/Q) のモジュラー表現について」(PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. MR 1047143. S2CID 120614740.