平均絶対差

平均絶対差（単変量）は、確率分布から抽出された 2 つの独立した値の平均絶対差に等しい統計的分散の尺度です。関連する統計量として、平均絶対差を算術平均で割った相対平均絶対差があり、これはジニ係数の2 倍に等しくなります。平均絶対差は、絶対平均差（平均符号差の絶対値と混同しないように）およびジニ平均差（GMD）としても知られています。^{[ 1 ]} 平均絶対差は、Δ または MD と表記されることもあります。

平均絶対差は、独立かつ同一の分布（未知の分布）に従う2つの確率変数XとYの絶対差の「平均」または「平均値」、正式には期待値として定義され、この分布は以降Qと呼ばれる。

${\displaystyle \mathrm {MD}$ :=E[|XY|].}

具体的には、離散的な場合、

• Qに従って一様分布する母集団のサイズnのランダムサンプルについて、全期待値の法則により、サンプル値のシーケンスy _i（i = 1からn）の（経験的）平均絶対差は、考えられるすべての差の絶対値の算術平均として計算できます。

${\displaystyle \mathrm {MD} =E[|XY|]=E_{X}[E_{Y|X}[|XY|]]={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}$

• Qが離散確率関数f ( y )を持つ場合、 yi（_i =1からn ）は非ゼロ確率を持つ値である。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|.}$

連続的な場合、

• もし${\displaystyle Q}$確率密度関数を持つ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,f(y)\,|xy|\,dx\,dy.}$

この方程式の別の形式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2\,f(x)\,f(x+\delta )\,\delta \,dx\,d\delta .}$

• もし${\displaystyle Q}$累積分布関数を持つ${\displaystyle F(x)}$分位関数付き${\displaystyle Q(F)}$すると、${\textstyle f(x)=dF(x)/dx}$そして${\displaystyle Q(F(x))=x}$したがって、次のことが言える。

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

確率分布が有限かつゼロでない算術平均AM を持つ場合、相対平均絶対差 (Δ または RMD と表記されることもある) は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {RMD} ={\frac {\mathrm {MD} }{\mathrm {AM} }}.}$

相対平均絶対差は、平均値に対する平均絶対差を定量化した無次元量です。相対平均絶対差は、ローレンツ曲線で定義されるジニ係数の2倍に等しくなります。この関係は、相対平均絶対差とジニ係数の両方に対して、それぞれの値の計算方法を含め、相補的な視点を提供します。

平均絶対差は平行移動と反転に対して不変であり、正のスケーリングに比例して変化します。つまり、Xが確率変数でcが定数の場合、次のようになります。

• $\displaystyle \mathrm {MD(X+c)=MD(X)} }$、
• $\displaystyle \mathrm {MD(-X)=MD(X)} }$、 そして
• ${\displaystyle \mathrm {MD(cX)=|c|MD(X)} }$。

相対平均絶対差は正のスケーリングに対して不変であり、負と可換であり、元の算術平均と変換後の算術平均の比に比例して変換に対して変化する。つまり、Xが確率変数でcが定数である場合、次のようになる。

• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (X+c)=\mathrm {RMD} (X)\cdot {\frac {\mathrm {mean} (X)}{\mathrm {mean} (X)+c}}={\frac {\mathrm {RMD} (X)}{1+{\frac {c}{\mathrm {mean} (X)}}}}\quad {\text{for }}c\neq -\mathrm {mean} (X)}$、
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (-X)=-\mathrm {RMD} (X)}$、 そして
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (cX)=\mathrm {RMD} (X)\quad {\text{c>0の場合}$。

確率変数の平均が正の場合、その相対平均絶対差は常に0以上になります。さらに、確率変数が0以上の値しか取れない場合、その相対平均絶対差は2未満になります。

平均絶対差はLスケールの2倍（第2Lモーメント）であり、標準偏差は平均からの分散の平方根（第2慣習中心モーメント）です。Lモーメントと慣習モーメントの違いは、平均絶対差と標準偏差を比較することで初めて明らかになります（第1Lモーメントと第1慣習モーメントはどちらも平均です）。

標準偏差と平均絶対差はどちらも、母集団の値や分布の確率がどれだけばらついているか、つまり分散度合いを表します。平均絶対差は特定の中心傾向の尺度で定義されるものではありませんが、標準偏差は算術平均からの偏差で定義されます。標準偏差は差を二乗するため、平均絶対差に比べて、大きな差にはより大きな重みを与え、小さな差にはより小さな重みを与える傾向があります。算術平均が有限であれば、標準偏差が無限であっても、平均絶対差も有限になります。具体的な比較については、例を参照してください。

最近導入された距離標準偏差は、平均絶対差と同様の役割を果たしますが、距離標準偏差は中心化された距離で機能します。E統計量も参照してください。

n 個の値y _iからなる確率変数XからのランダムサンプルSの場合、統計量

${\displaystyle \mathrm {MD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}$

は、 MD( X ) の一貫性のある不偏推定量です。統計量は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {RMD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}$

はRMD( X ) の一致推定量ですが、一般には不偏推定量ではありません。

RMD( X )の信頼区間は、ブートストラップサンプリング手法を用いて計算できます。

一般に、RMD( X ) の不偏推定量は存在しません。これは、平均の逆数を乗じることに対する不偏推定量を見つけることが難しいことが一因です。例えば、サンプルが未知のpに対して確率変数X ( p )から抽出されたことがわかっていて、X ( p ) − 1がベルヌーイ分布に従う場合、Pr( X ( p ) = 1) = 1 − pおよびPr( X ( p ) = 2) = pとなりますが、    

RMD( X ( p )) = 2 p (1  − p )/(1 + p )   。

しかし、 RMD( X ( p ))の任意の推定量R ( S )の期待値は次の形式になります。

${\displaystyle \operatorname {E} (R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{ni}r_{i},}$

ここで、r _iは定数です。したがって、E( R ( S )) は、0 から 1 までのすべてのpに対して RMD( X ( p ))と等しくなることはありません。

†${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ベータ関数

• 平均絶対誤差
• 平均偏差
• 見積担当者
• 変動係数
• Lモーメント

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