相対変化

定量的な科学では、相対変化と相対差という用語は、比較対象の「大きさ」を考慮しながら、つまり標準値、基準値、または開始値で割ることによって、2 つの量を比較するために使用されます。^{[ 1 ]}比較は比率として表され、単位のない数値です。これらの比率に 100 を掛けることで、パーセンテージとして表すことができるため、パーセント変化、パーセント差、または相対パーセント差という用語もよく使用されます。「変化」と「差」という用語は互換的に使用されます。^{[ 2 ]}

相対変化は、結果が同じであることが期待される繰り返し測定において、品質保証および品質管理の定量的指標としてよく用いられます。パーセント変化（パーセントで表される相対変化）の特殊​​なケースとして、パーセント誤差と呼ばれるものがあります。これは、基準値が（理論的に決定された）許容値または実測値であり、それと比較される値が実験的に（測定によって）決定される測定状況で発生します。

相対変化の公式は、多くの条件下ではうまく機能しません。文献では、相対変化の指標と呼ばれるさまざまな代替式が提案されています。いくつかの著者は、対数変化と対数ポイントが満足のいく指標であると考えていますが、これらは広く使用されていません。^{[ 3 ]}

2 つの数値量v _refとvが与えられたとき、 v _{ref は}ある基準値である場合、それらの実際の変化、実際の差、または絶対変化は $${\displaystyle \Delta v=v-v_{\mathrm {ref} }.}$$絶対差 という用語は、絶対値が取られない場合でも使用されることがあります。Δ の符号は通常、増加データ系列全体で一定です。特定のアプリケーションで基準値に対する値の関係 (つまり、大きいか小さいか) が重要でない場合、上記の式で実際の変化の代わりに絶対値を使用して、常に非負となる相対変化の値を生成することができます。実際の差は、特に測定単位に依存するため、通常は数値を比較する良い方法ではありません。たとえば、1メートル は100 cm ですが、絶対差は2と 1mは1であり、その間の絶対差は200と100cm は100なので、差が大きいように見える。^{[ 4 ]}しかし、単位が一定であっても、相対的な変化はそれぞれの変化の重要性を判断するのに役立つ。例えば、価格の上昇は100ドルの貴重品は、50ドルから150ドルだが、変更するとかなり小さい10,000ドルから10,100ドル。

関係する量の「大きさ」を考慮に入れるために、v _refの正の値に対して次のように定義することで比較を調整できます。 $${\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\mathrm {ref} }}}={\frac {v}{v_{\mathrm {ref} }}}-1.}$$

相対変化は使用する測定単位に依存しない。たとえば、2対1メートル は−50%、200 から 100  cm 。基準値 ( v _ref ) がゼロの場合、相対変化は定義されず、v _refが負の場合、正の増加に対して負の値をとるため、通常は負の基準値に対しても定義されません。たとえば、次の相対変化を計算したい場合があります。−10 から −6 へ。上記の式では、⁠ (−6) − (−10) / −10 ⁠ = ⁠ 4 / −10 ⁠ = −0.4となり、減少を示していますが、実際には読み取り値は増加しました。

相対変化の尺度は、単位のない数値を分数で表したものです。対応するパーセント変化の値は、これらの値を100倍し（そして、 値がパーセントであることを示すために%記号を付加する）、求めることができます。

相対変化の定義域が正の数に限定されることは、しばしば制約となります。この問題を回避するために、絶対値を取るのが一般的です。そうすることで、相対変化の公式は、すべての非ゼロ値に対して正しく機能します。${\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}$⁠ : $${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {v-v_{\mathrm {ref} }}{|v_{\mathrm {ref} }|}}.}$$

参照値がゼロの場合、この方法でも問題は解決しません。代わりに相対変化の指標を使用し、両方の絶対値を取るのが一般的です。${\displaystyle v}$そして​​${\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}$⁠。すると、問題となる唯一のケースは⁠${\displaystyle v=v_{\mathrm {ref} }=0}$これは通常、指標を適切に拡張することで対処できます。たとえば、算術平均の場合は、次の式を使用できます。 ^{[ 5 ]}$${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0.}$$

パーセント変化とは、変数の変化を表す方法の一つです。これは、古い値と新しい値の間の相対的な変化を表します。

例えば、家の価値が今日10万ドル、そしてその価値が1年後に上昇すると110,000ドル、その価値のパーセント変化は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {110,000-100,000}{100,000}}=0.1=10\%.}$$ つまり、その家の価値は10％上昇したと言えるだろう。

より一般的には、もし⁠${\displaystyle V_{1}}$は古い値を表し、${\displaystyle V_{2}}$新しい価値、 $${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

%CH一部の電卓は、または関数を介してこれを直接サポートしています。Δ%

対象となる変数がパーセンテージそのものである場合、相対的な差と絶対的な差の混同を避けるため、その変化についてパーセンテージポイントを用いて説明する方が望ましい。

上記の（古典的な）相対変化は、相対変化の可能な尺度／指標の1つにすぎません。相対変化の指標は、${\displaystyle x}$（初期値または基準値）から${\displaystyle y}$（新値） ${\displaystyle R(x,y)}$は、関心領域に対して定義されたバイナリ実数値関数であり、次の特性を満たします。^{[ 9 ]}

• 適切な標識：${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• xが固定されている場合、Rはyの増加関数である。
• Rは連続である。
• 測定単位に関係なく：すべての${\displaystyle a>0}$⁠、 ⁠${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$⁠ .
• 正規化:${\textstyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

正規化条件は、次の観察に基づいている。${\displaystyle R}$定数倍に拡大${\displaystyle c>0}$正規化以外の条件も満たしている。さらに、独立条件により、すべての⁠${\displaystyle R}$単一引数関数として記述できます${\displaystyle H}$比率の​${\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}$⁠ . ^{[ 10 ]}正規化条件は次のようになります。${\displaystyle H'(1)=1}$これは、すべての指標が以下の場合に古典的な指標と同じように振る舞うことを意味します。${\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}$は1に近い。

通常、相対変化の指標は、実際の変化Δをxとyの値の何らかの関数、例えばf ( x , y )でスケーリングしたものとして表されます。^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

古典的な相対変化と同様に、 f ( x , y )がゼロの場合、一般的な相対変化は定義されません。関数f ( x , y )については、さまざまな選択肢が提案されています。^{[ 11 ]}

表からわかるように、最初の 2 つの指標を除くすべての指標の分母は平均です。平均関数の特性の 1 つは、${\displaystyle m(x,y)}$は：^{[ 11 ]}${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$つまり、こうした指標はすべて、古典的な相対変化にはない「対称性」という性質を持っているということだ。${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$これは、相対的な変化が${\displaystyle x}$⁠から⁠${\displaystyle y}$逆方向の相対変化と同じ大きさであるべきである。${\displaystyle y}$⁠から⁠${\displaystyle x}$⁠、関係と同じように${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{x/y}}}$示唆する。

プログラミング言語で浮動小数点値を一定の許容範囲内で比較する場合、最大平均変化が推奨されています。[ 12 ]^{また、測定}の相対誤差が必要な場合の近似誤差の計算にも応用されています。最小平均変化は計量経済学での使用が推奨されています。^{[ 13 ] [ 14 ]}対数変化は相対変化の汎用的な代替として推奨されており、以下で詳しく説明します。

天毓はL（基準値）からKへの一般的な相対差関数を定義する：^{[ 15 ]}$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

これは $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

特に、c = ±1 の特殊なケースでは、 $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

これらの相対変化の指標の中で、おそらく最も自然なのは自然対数（${\displaystyle \ln }$2つの数値（最終値と初期値）の比率の^対数変化と呼ばれる。 ^[ 2 ^]実際、${\displaystyle \textstyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$⁠、以下の近似が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}&=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}\\&={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}},\end{aligned}}}$$ これは古典的な相対変化の公式です。

なぜなら​${\displaystyle \textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\ln(V_{1})-\ln(V_{0})}$したがって、前述の条件が満たされる場合、（自然）対数の差は、パーセント変化にほぼ等しくなります。

相対変化を100倍してパーセンテージを得るのと同じように、${\textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$100倍にスケーリングすると、一般的に対数ポイントと呼ばれる値が得られます。^{[ 16 ]}対数ポイントは、平方根のべき乗量を測定する場合、単位センチネルパース（cNp）に相当します。 ^{[ 17 ] [ 18 ]}この量は対数パーセンテージとも呼ばれ、L%と表記されます。^{[ 2 ]} 自然対数の1における導関数は1であるため、対数ポイントは小さな差のパーセント変化にほぼ等しくなります。たとえば、1%の増加は、 0.995  cNp、5%増加で4.88  cNp増加。この近似特性は、導関数が 1 ではないためスケーリング係数を導入する他の対数底の選択では成り立ちません。したがって、対数ポイントはパーセント変化の代替として使用できます。^{[ 19 ] [ 17 ]}

• 近似誤差
• 統計学における誤差と残差
• 相対標準偏差
• 対数スケール

• ベネット、ジェフリー；ブリッグス、ウィリアム（2005）。数学の活用と理解：定量的推論アプローチ（第3 版）。ボストン：ピアソン。ISBN 0-321-22773-5。
• Karjus, Andres; Blythe, Richard A.; Kirby, Simon; Smith, Kenny (2020年2月10日). 「言語における話題の変動のダイナミクスの定量化」 . Language Dynamics and Change . 10 (1). Section A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 . 
• 「パーセント差 – パーセント誤差」(PDF)。イリノイ州立大学物理学科。2004年7月20日。2019年7月13日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2010年5月5日取得。
• Tenhunen, Lauri (1990). CESとpar生産技術、所得分配、新古典派生産理論（博士論文）。A. Vol.  290. タンペレ大学。
• トルンクヴィスト、レオ。ヴァルティア、ペンティ。ヴァルティア、イリヨ (1985)。「相対的な変化はどのように測定されるべきですか?」(PDF)。アメリカの統計学者。39 (1): 43–46 .土井: 10.2307/2683905。JSTOR 2683905。 
• 「測定とグラフ作成の理解」（PDF）。ノースカロライナ州立大学。2008年8月20日。2010年6月15日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。2010年5月5日に取得。
• ヴァルティア、ユルヨ・O. (1976).相対変化と指数(PDF) . ETLA A 4. ヘルシンキ: フィンランド経済研究所. ISBN 951-9205-24-12022年11月20日に取得。