断層画像再構成

断層撮影再構成は多次元逆問題の一種であり、有限個の投影から特定のシステムの推定値を生成することが課題である。断層撮影画像の数学的基礎はヨハン・ラドンによって確立された。注目すべき応用例としては、患者の断層画像を非侵襲的に得るコンピュータ断層撮影（CT）の再構成がある。最近の開発では、空港のセキュリティにおけるコンピュータ断層撮影の使用をテストおよび評価するために必要な現実的な物体の挿入に関連するタスクにラドン変換とその逆変換が使用されている。^[1]

この記事は、一般的にあらゆる種類の断層撮影の再構成方法に適用されますが、一部の用語と物理的な説明は、X 線コンピューター断層撮影の再構成に直接関係しています。

特定の角度 での断層撮影測定プロセスから得られる物体の投影は、線積分のセットで構成されています(図 1 を参照)。2D で整理されたさまざまな角度での多数のこのような投影のセットは、サイノグラムと呼ばれます (図 3 を参照)。X 線 CT では、線積分は、物体を直線で通過する際のX 線ビームの総減衰を表します。前述のように、結果として得られる画像は、減衰係数の 2D (または 3D) モデルです。つまり、画像 を見つけたいのです。スキャン方法を視覚化する最も単純で簡単な方法は、最初のスキャナーで使用された平行投影システムです。この説明では、角度 での投影を横切る位置 での一連の平行光線としてデータを収集するものとします。これは、さまざまな角度で繰り返されます。組織では、減衰が指数関数的に発生します。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

ここで、 は位置の関数としての減衰係数です。したがって、一般に、角度 の投影上の位置 における光線の全減衰は、線積分で与えられます。 ${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

図 1 の座標系を使用すると、点が角度で投影されるの値は次のように表されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle x\cos\theta +y\sin\theta =r\}$

したがって、上の式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

ここで、はディラックのデルタ関数を表します。この関数は、2D オブジェクトの ラドン変換(またはサイノグラム)として知られています。${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle \delta ()}$

投影のフーリエ変換は次のように表さ れる。

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$ここで^[2]${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$は、角度 におけるの 2D フーリエ変換のスライスを表します。逆フーリエ変換を使用すると、逆ラドン変換の式を簡単に導くことができます。${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

ここでヒルベルト変換の微分は${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

理論上は、逆ラドン変換により元の画像が得られます。投影スライス定理によれば、物体を無限の角度で撮影した 1 次元投影が無限にあれば、元の物体を完全に再現できます。ただし、実際には利用できる投影の数は有限です。 ${\displaystyle f(x,y)}$

の有効直径が で、望ましい解像度が であると仮定すると、再構成に必要な投影数の経験則は^{[2​​]である。}${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R_{s}}$${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

投影画像から3次元物体を再構成するプロセスを実装するための実用的な再構成アルゴリズムが開発されている。^{[3] [2]}これらのアルゴリズムは、主にX線変換の数学、データ取得プロセスの統計的知識、およびデータ画像化システムの幾何学 に基づいて設計されている。

再構成は補間を使用して行うことができます。投影が等間隔の角度で生成され、それぞれが同じレートでサンプリングされていると仮定します。各投影の離散フーリエ変換(DFT) により、周波数領域でのサンプリングが生成されます。周波数サンプリングされたすべての投影を組み合わせると、周波数領域で極ラスターが生成されます。極ラスターはスパースであるため、補間を使用して未知の DFT ポイントを埋め、逆離散フーリエ変換によって再構成を行うことができます。^[4]極ラスターのスパース性を変更して補間の有効性を高める方法を設計することで、再構成のパフォーマンスが向上する可能性があります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x,y)}$

たとえば、周波数領域における同心円状の正方形ラスターは、次のように各投影間の角度を変更することで取得できます。

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

ここで、評価される最高頻度です。 ${\displaystyle R_{0}}$

同心正方形ラスターは、すべての補間位置を長方形DFT格子上に配置することで計算効率を向上させます。さらに、補間誤差も減少します。^[4]しかし、フーリエ変換アルゴリズムには、本質的にノイズの多い出力を生成するという欠点があります。

断層画像再構成の実践では、フィルタ逆投影アルゴリズムとして知られる、安定化され離散化された逆ラドン変換が使用されることが多い。^[2]

サンプリングされた離散システムでは、逆ラドン変換は

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi}}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta}(t)=p_{\theta}(t)\cdot k(t)}$

ここで、は投影間の角度間隔であり、は周波数応答 を持つラドンカーネルです。 ${\displaystyle \デルタ \theta }$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle |\omega |}$

バックプロジェクションという名前は、2 次元信号を得るために、1 次元投影を 1 次元ラドン カーネル (バックプロジェクション) でフィルタリングする必要があることに由来しています。使用されるフィルターには DC ゲインが含まれていないため、DC バイアスを追加することが望ましい場合があります。バックプロジェクションを使用した再構成では、上記の補間方法よりも優れた解像度が得られます。ただし、フィルターは高周波コンテンツを増幅する傾向があるため、ノイズが大きくなります。

反復アルゴリズムは計算量が多いが、システムに関する事前情報を取り入れることができる。^[2]${\displaystyle f(x,y)}$

を投影の数とし、を角度 で行われた 番目の投影に対する歪み演算子とします。は反復の変換を最適化するための一連のパラメータです。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

再帰的トモグラフィー再構成アルゴリズムの代替ファミリーとしては、代数再構成技術と反復スパース漸近最小分散法があります。

平行な放射線ビームを得るのは難しいため、非平行なファンビームの使用が一般的です。ファンビームは、投影として、互いに平行ではない一連の線積分を生成します。ファンビーム システムには 360 度の角度範囲が必要であり、機械的な制約が課せられますが、信号取得時間が短縮されるため、医療分野などの特定の設定では有利になる場合があります。バック プロジェクションは、フィルターされた投影から取得された加重合計バック プロジェクションを計算することで再構成を生成する同様の 2 段階の手順に従います。

ディープラーニング手法は、現在、画像再構成に広く適用されており、低線量ノイズ除去、スパースビュー再構成、限定角度トモグラフィー、金属アーチファクト低減など、さまざまな画像再構成タスクで印象的な結果を達成しています。優れた概要は、IEEE Transaction on Medical Imaging の特別号^[5]に記載されています。ディープラーニング再構成アルゴリズムの 1 つのグループは、後処理ニューラル ネットワークを適用して画像から画像への再構成を実現します。この場合、入力画像は従来の再構成方法で再構成されます。限定角度トモグラフィーでの U-Net を使用したアーチファクト低減は、このようなアプリケーションの例です。^[6]ただし、図に示すように、このような完全にデータ駆動型の方法で再構成された画像には、誤った構造が発生する可能性があります。 [ ⁷ ]そのため、高精度学習の概念で説明されているように、既知の演算子をニューラル ネットワークのアーキテクチャ設計に統合すると有益であると思われます。^[8]たとえば、投影データからの直接画像再構成は、フィルター逆投影のフレームワークから学習できます。^[9]別の例としては、反復再構成アルゴリズムを展開してニューラル ネットワークを構築することが挙げられます。^[10]精密学習の他に、従来の再構成法を深層学習再構成の事前学習と組み合わせて使用​​することも^[11]、深層学習再構成の画質を向上させる代替アプローチである。

断層撮影システムには、その用途と形状 (ソースと検出器の位置) に大きなばらつきがあります。このばらつきにより、処理および再構成アルゴリズムの非常に特殊なカスタマイズ実装が必要になります。そのため、ほとんどの CT メーカーは、独自のカスタム ソフトウェアを提供しています。これは、知的財産を保護するためだけでなく、政府の規制機関によって強制される場合もあります。いずれにしても、過去 20 年間に開発された、商用およびオープン ソースの両方の汎用断層撮影再構成ソフトウェア パッケージが数多くあります。

購入可能な市販ソフトウェア パッケージのほとんどは、ベンチトップ コーンビーム CT システムのデータ処理に重点を置いています。これらのソフトウェア パッケージには、Volume Graphics、InstaRecon、iTomography、Livermore Tomography Tools (LTT)、Cone Beam Software Tools (CST) などがあります。

オープンソースの再構築ソフトウェアの注目すべき例としては、再構築ツールキット（RTK）^[12]、CONRAD ^[13]、TomoPy ^[14]、 ASTRAツールボックス^{[15] 、 [16]}、PYRO-NN ^[17] 、 ODL ^[18]、TIGRE ^{[19] 、LEAP [20]}などがある。

ギャラリーには、単純なオブジェクト トモグラフィーの完全なプロセスと、それに続く ART に基づくトモグラフィー再構成が示されています。

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  図 2:ファントム オブジェクト、2 つのキティコーナーの正方形。
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  図 3: 断層撮影から得られたファントム オブジェクト (図 2) のサイノグラム。180 度の角度にわたって 50 個の投影スライスが取得され、等間隔でサンプリングされました (偶然にも、x 軸は -50/50 単位の変位を示しています)。
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  図 4:図 3 のサイノグラムのARTベースの断層再構成。反復再構成プロセスに関するアニメーションとして表示されます。結果の画像には視覚的なアーティファクトがいくつかあるため、元のオブジェクトは近似的に再構成できます。

• コンピュータ断層撮影の操作#断層再構成
• コーンビーム再構成
• 産業用コンピュータ断層撮影
• インダストリアル・トモグラフィー・システムズ

• Avinash Kak & Malcolm Slaney (1988)、「コンピュータ断層撮影画像の原理」、IEEE Press、ISBN 0-87942-198-3。 
• Bruyant, PP「SPECT における解析的および反復的再構成アルゴリズム」核医学ジャーナル 43(10):1343-1358、2002

• Slaney、AC Kak、Malcolm。「コンピュータ断層撮影画像の原理」。Slaney.org 。2018年9月7日閲覧。
• Insight ToolKit; オープンソースの断層撮影支援ソフトウェア
• 「TomoPy — TomoPy 1.1.3 ドキュメント」。Tomopy.readthedocs.org 。2018年9 月 7 日閲覧。
• ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp) ツールボックス。コンピュータ断層撮影再構成用の非常に柔軟で高速なオープンソース ソフトウェアです。
• NiftyRec; 包括的なオープンソースの断層画像再構成ソフトウェア; Matlab および Python でスクリプト可能
• オープンソースの断層画像再構成および可視化ツール
• 「ITS plc - 産業用可視化のための電気プロセストモグラフィー」。Itoms.com 。 2018年9月7日閲覧。