代数的再構成技術

代数的再構成法（ART）は、コンピュータ断層撮影で使用される反復再構成法です。一連の角度投影（サイノグラム）から画像を再構成します。ゴードン、ベンダー、ハーマンが最初に画像再構成での使用を示しました。^[1]一方、この方法は数値線形代数ではカツマルツ法として知られています。 ^{[2] [3]}

ART が他の再構成方法 (フィルタ補正逆投影法など) に比べて優れている点は、再構成プロセスに事前の知識を組み込むのが比較的簡単なことです。

ART は、次のような線形方程式系の反復ソルバーと考えることができます。 ${\displaystyle Ax=b}$

${\displaystyle A}$は、各出力ピクセルのサイノグラム内の異なるポイントへの相対的な寄与を表すスパース行列です（はサイノグラム内の個々の値の数、 は出力ピクセルの数です）。${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x}$生成された（出力）画像内のピクセルをベクトルとして表し、

${\displaystyle b}$は、サイノグラムを表すベクトルです。サイノグラムの各投影（行）は、横軸に沿って配置された多数の離散値で構成されています。は、個々の投影のそれぞれから得られたこれらすべての値で構成されています。^[4]${\displaystyle b}$

実数または複素数の行列と実数または複素数のベクトルが与えられると、この方法では、次の式のように線形方程式の解の近似値を計算し、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x^{k+1}=x^{k}+\lambda _{k}{\frac {b_{i}-\langle a_{i},x^{k}\rangle }{\|a_{i}\|^{2}}}a_{i}^{T}}$

ここで、は行列のi番目の行であり、はベクトルのi番目の要素です。 ${\displaystyle i=k{\bmod {m}}+1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \lambda_{k}}$はオプションの緩和パラメータであり、範囲は です。緩和パラメータはシステムの収束を遅くするために使用されます。これにより計算時間は長くなりますが、出力の信号対雑音比が向上します。実装によっては、 の値が各反復ごとに減少します。^[4]${\displaystyle 0<\lambda _{k}\leq 1}$${\displaystyle \lambda_{k}}$

ART アルゴリズムをさらに発展させたものが、同時代数再構成技術(SART) アルゴリズムです。