ラジカル軸

ユークリッド幾何学において、同心円でない2つの円の根軸とは、それらの円に関するべき乗が等しい点の集合のことです。このため、根軸は2つの円のべき乗線またはべき乗二等分線とも呼ばれます。詳細：

中心がそれぞれM ₁、M ₂で半径がそれぞれr ₁、r ₂である2 つの円c ₁、 c ₂について、点Pの円に対するべき乗は次のようになる。

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}。}$

点Pが根軸に属する場合、

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)。}$

円が2つの共通点を持つ場合、根軸は円の共通割線です。 点Pが円の外側にある場合、Pは両方の円に対して等しい接線距離を持ちます。 半径が等しい場合、根軸はM1、M2の線分二等分線です。いずれの場合も_、 根軸はに垂直な線です_。${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

根軸という用語は、フランスの数学者M. シャールによってaxe radicalとして使用されました。^{[ 1 ]} J.V. ポンセレはchorde idealeという用語を使用しました。^{[ 2 ]} J. プリュッカーはChordaleという用語を導入しました。^{[ 3 ]} J. シュタイナーは根軸を等しいべき乗の線(ドイツ語: Linie der gleichen Potenzen ) と呼び、これがべき乗線( Potenzgerade )という用語につながりました。^{[ 4 ]}

前のセクションで説明した、与えられた 2 つの円を直交して交差する円の束を作成する方法は、直交して交差する 2 つの円のシステムの作成に拡張できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

させて${\displaystyle c_{1},c_{2}}$（前のセクションのように）互いに離れた2つの円である。${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$それぞれの中心と半径を、${\displaystyle g_{12}}$それらの根源軸となる。${\displaystyle c_{1}}$ライン${\displaystyle g_{12}}$ラジカル軸は、中心が線上にあることで決定されます${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$。 もし$\displaystyle \gamma _{2}}$中心が距離にある円は、${\displaystyle \delta }$中央へ${\displaystyle M_{1}}$半径$\displaystyle \rho _{2}}$前のセクションの結果から、次の式が得られる。

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }},\quad }$どこ${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$固定されています。

と${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$この方程式は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$。

半径が${\displaystyle \rho _{2}}$が与えられ、この方程式から距離が求められる。${\displaystyle \delta _{2}}$新しい中心の（固定された）根軸に。図では、新しい円の色は紫色です。緑色の円はすべて根軸上に中心を持ち、円と交差します。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$直交するため、新しい円（紫色の円）もすべて直交します。根軸（赤い線）を次のように選択します。${\displaystyle y}$軸と線${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$として${\displaystyle x}$軸に関して、2つの円束の方程式は次のとおりです。

紫：${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

緑：${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

（ポイント）${\displaystyle \;(0,y_{g})}$（緑色の円の中心です。）

特性: a)任意の 2 つの緑色の円が交差する${\displaystyle x}$軸上の点${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$直交円系の極。つまり、${\displaystyle x}$-軸は緑色の円の根軸です。b )紫色の円は共通点がありません。しかし、実平面を複素平面の一部と考えると、任意の2つの紫色の円は 上で交わります。${\displaystyle y}$点における軸（それらの共通の根軸） ${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$。

特別な場合 : a)${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$緑色の円は原点で互いに接しており、${\displaystyle x}$-軸を共通接線とし、紫色の円は${\displaystyle y}$軸を共通接線とする。このような円の系は同軸放物線円と呼ばれる（下記参照）。b )縮小${\displaystyle c_{1}}$その中心へ${\displaystyle M_{1}}$つまり${\displaystyle r_{1}=0}$すると方程式はより単純な形になり、 ${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$。

結論: a)実際の${\displaystyle w}$円の鉛筆

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\$ :}

特性を持つ:${\displaystyle y}$-軸は、${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$。

の場合${\displaystyle w>0}$円${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$交点${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$。

の場合${\displaystyle w<0}$彼らには共通点が全くない。

の場合${\displaystyle w=0}$彼らは触れる${\displaystyle (0,0)}$そして${\displaystyle y}$軸はそれらの共通接線である。

b)実際の${\displaystyle w}$2本の円の鉛筆

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

直交する円のシステムを形成する。つまり、任意の 2 つの円${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$直交する。

c) b)の式から、座標に依存しない表現が得られる。

与えられた点について${\displaystyle P_{1},P_{2}}$それらの中間点${\displaystyle O}$そしてそれらの線分二等分線${\displaystyle g_{12}}$2つの方程式

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$と${\displaystyle M}$の上${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$しかし、その間ではない ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$、 そして${\displaystyle N}$の上${\displaystyle g_{12}}$

によって一意に決定される円の直交系について説明します。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$これらはシステムの極である。

のために${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$軸を規定する必要がある${\displaystyle a_{1},a_{2}}$システムの。システムは放物線状です。

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$と${\displaystyle M}$の上${\displaystyle a_{1}}$そして ${\displaystyle N}$の上${\displaystyle a_{2}}$。

定規とコンパスを使った作図：

直交円の系は、その極によって一意に決定される。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$:

1. 軸（根軸）は線です${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$線分二等分線${\displaystyle g_{12}}$極地の。
2. 図中の緑色の円は ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$彼らの中心は${\displaystyle g_{12}}$それらは簡単に描くことができます。${\displaystyle N}$半径は${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$。
3. 中心が2番目の鉛筆（図の青色）の円を描くには${\displaystyle M}$の上${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$半径を決定する必要がある${\displaystyle r_{M}}$ピタゴラスの定理を適用する：${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$（図を参照）。

の場合${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$軸は別途選択する必要がある。このシステムは放物線状であり、容易に図示できる。

定義と特性：

させて${\displaystyle c_{1},c_{2}}$2 つの円であり、${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$それらのべき関数。次に、任意の${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

円の方程式は${\displaystyle c(\lambda )}$（下記参照）。このような円のクラスは、円によって生成される同軸円のシステムと呼ばれます。${\displaystyle c_{1},c_{2}}$（この場合）${\displaystyle \lambda =1}$この方程式は、${\displaystyle c_{1},c_{2}}$.) ^{[ 7 ] [ 8 ]}

パワー関数${\displaystyle c(\lambda )}$は

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$。

正規化された方程式（係数${\displaystyle x^{2},y^{2}}$は${\displaystyle 1}$） の${\displaystyle c(\lambda )}$は${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$。

簡単な計算でわかる。

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$同じラジカル軸を持つ${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}.}$

許可する${\displaystyle \lambda }$無限に移動するということは、${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$同軸円システムの構成要素である。${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$。

（E）：もし${\displaystyle c_{1},c_{2}}$2点で交差する${\displaystyle P_{1},P_{2}}$、 それから${\displaystyle P_{1},P_{2}}$は任意の円の点である。${\displaystyle c(\lambda )}$、そしてその線${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$はそれらの共通の根軸です。このようなシステムは楕円型と呼ばれます。 (P):もし${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$接線は​${\displaystyle P}$すると、システムのどの円も両方に接する${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$地点で${\displaystyle P}$共通接線はそれらの共通根軸です。このようなシステムは放物線と呼ばれます。 (H):もし${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$共通点がない場合、システムの任意の円のペアについても同じことが言えます。任意の円のペアの根軸は、${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$このシステムは双曲型と呼ばれます。

詳細：

座標を導入して

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$、

それから${\displaystyle y}$-軸はそれらの根軸です（上記参照）。

べき関数の計算${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$正規円の方程式は次のようになります。

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

平方完成して代入すると${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$（${\displaystyle x}$-中心の座標) は、方程式の中心化された形式をもたらします

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$。

いつ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$円${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$2つの点で交差する

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

そして同軸円の系は楕円である。

もし ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$円 ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$ポイントがある${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$共通点があり、システムは放物線状です。

もし${\displaystyle r_{1}<d_{1},}$円${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$共通点はなく、システムは双曲型である。

代替方程式：1)同軸円系を定義する方程式では、べき関数の倍数も使用できます。2 )円の1つの方程式を、目的の根軸の方程式に置き換えることができます。根軸は、無限に大きな半径を持つ円と見なすことができます。例：

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$、

最初の円と線が一致するすべての円について説明します。${\displaystyle x=x_{2}}$ 根軸として。 3) 2 つの円の同等性を表現するために、次の形式がよく使用されます。

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

しかしこの場合、パラメータによる円の表現${\displaystyle \mu ,\nu }$ユニークではありません。

応用例: a)円反転とメビウス変換は角度と一般化された円を保存します。したがって、直交円系はこれらのマッピングの研究において重要な役割を果たします。^{[ 9 ] [ 10 ]} b)電磁気学では、同軸円は磁力線として現れます。^{[ 11 ]}

3つの円について${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$それらの2つは同心円ではなく、3つの根軸がある。${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}.}$これらの円の中心が同一直線上にない場合、それらの根軸は共通の点で交わる。${\displaystyle R}$、 3 つの円の中心。中心が にある 2 つの円に直交する円。${\displaystyle R}$は、第３の円（根号円）と直交する。

証明。根軸${\displaystyle g_{ik}}$円との接線距離が等しいすべての点を含む。${\displaystyle c_{i},c_{k}}$交点${\displaystyle R}$の${\displaystyle g_{12}}$そして${\displaystyle g_{23}}$3 つの円すべてに対して同じ接線距離を持つ。したがって、${\displaystyle R}$根軸上の点${\displaystyle g_{31}}$、 あまりにも。

この性質により、交わらない2つの円の根軸を作図することができる。${\displaystyle c_{1},c_{2}}$センター付き${\displaystyle M_{1},M_{2}}$3つ目の円を描く${\displaystyle c_{3}}$中心が与えられた交差する中心と共線ではない${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ラジカル軸${\displaystyle g_{13},g_{23}}$描くことができる。それらの交点は根号の中心である。${\displaystyle R}$3つの円のうち、${\displaystyle g_{12}}$. を通る線${\displaystyle R}$これは${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ラジカル軸 ${\displaystyle g_{12}}$。

追加の建設方法：

与えられた円に対して同じパワーを持つすべての点${\displaystyle c}$同心円上に横たわる${\displaystyle c}$これを等冪円と呼ぶことにしよう。この性質は、2つの円の根軸の別の作図方法に利用できる。

互いに交わらない2つの円の場合${\displaystyle c_{1},c_{2}}$2つの等電力円を描くことができる${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$に関して同じ力を持つ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$（図を参照）。詳細：${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$パワーが十分に大きい場合、円は ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$2つの共通点があり、それらは根軸上にある。${\displaystyle g_{12}}$。

一般に、互いに重ならない任意の2つの円は、双極座標系の円と一致させることができます。この場合、根軸は単に${\displaystyle y}$この座標系の軸。座標系の2つの焦点を通る軸上のすべての円は、2つの円と直交します。中心がすべて与えられた直線上にあり、すべての円のペアが同じ根軸を持つ円の最大集合は、同軸円の束として知られています。

円が通常の方法で三線座標で表されている場合、その根の中心は都合よくある行列式として与えられます。具体的には、${\displaystyle X=x:y:z}$三角形の平面上の変数点を表す${\displaystyle ABC}$辺の長さが${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}$そして、円は次のように表されます。

${\displaystyle (dx+ey+fz)(ax+by+cz)+g(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (hx+iy+jz)(ax+by+cz)+k(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (lx+my+nz)(ax+by+cz)+p(ayz+bzx+cxy)=0.}$

すると、ラジカル中心はポイントとなる

${\displaystyle {\begin{vmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{vmatrix}}.}$

3 次元における 2 つの非同心球の根平面は同様に定義されます。それは、2 つの球への接線の長さが等しくなる点の軌跡です。 ^{[ 12 ]} この軌跡が平面であるという事実は、根軸が直線であるという事実から 3 次元での回転によって導かれます。

同じ定義は、任意の次元のユークリッド空間における超球にも適用でき、 2つの非同心超球の根基超平面を与える。

• R.A.ジョンソン（1960）。『高度なユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初等的解説』（ホートン・ミフリン社による1929年版の復刻版 ）。ニューヨーク：ドーバー出版。31 ～ 43ページ。ISBN  978-0-486-46237-0。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

• C. スタンレー・オギルビー(1990). 『幾何学への旅』ドーバー出版。17-23頁。ISBN  0-486-26530-7。
• HSM Coxeter 、 SL Greitzer ( 1967 ) 。 『幾何学再考』ワシントンDC：アメリカ数学協会。pp. 31–36、160–161。ISBN  978-0-88385-619-2。
• クラーク・キンバーリング、「三角形の中心と中心三角形」、Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv、1–295。

ウィキメディア・コモンズには、急進的な軸に関連するメディアがあります。

• ワイススタイン、エリック W. 「根号直線」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック・W. 「弦定理」 . MathWorld .
• Cut-the-knotのアニメーション