プットコールパリティ

金融数学において、プット・コール・パリティは、同一の権利行使価格と満期日を持つヨーロピアン・コール・オプションとヨーロピアン・プット・オプションの価格の関係を定義します。つまり、ロング・コール・オプションとショート・プット・オプションのポートフォリオは、この権利行使価格と満期日での単一の先渡契約と同等 (したがって同じ価値) です。これは、満期時の価格が権利行使価格を上回っている場合はコールが行使され、下回っている場合はプットが行使されるため、どちらの場合でも、先渡契約とまったく同じように、資産の 1 単位が権利行使価格で購入されるためです。

この関係の妥当性には、特定の仮定が満たされていることが必要です。これらの仮定は指定されており、関係は以下で導出されます。実際には、取引コストと資金調達コスト (レバレッジ) により、この関係は厳密には維持されませんが、流動性の高い市場では、関係はほぼ正確になります。

プットコールパリティは先渡契約の静的複製であるため、最小限の仮定しか必要としません。先渡契約の取引がない場合、先渡契約は、原資産を購入して固定期間の借り入れ（債券の借り入れなど）で資金調達する能力、または逆に原資産を借りて売却（空売り）し、受け取ったお金を一定期間貸し出す能力に置き換えることができます（実際、先渡契約自体を複製することもできます）。どちらの場合も、自己資金調達ポートフォリオが生成されます。

これらの仮定は、開始日から満期日までの間にいかなる取引も必要としないため、動的な複製と原資産の継続的な取引を必要とするブラック・ショールズ・モデルの仮定よりも大幅に弱いものとなります。

レプリケーションでは、デリバティブ取引を行えることを前提としていますが、デリバティブ取引にはレバレッジ（およびこれを裏付ける資本コスト）が必要であり、売買には取引コスト、特にビッド・アスク・スプレッドが伴います。したがって、この関係は、無制限の流動性を持つ理想的な摩擦のない市場でのみ正確に成立します。ただし、現実世界の市場では、市場の混乱がない場合、主要通貨や主要株価指数のFX市場で特に顕著なように、十分な流動性があるため、関係は正確に近くなる場合があります。

プットコール パリティは、いくつかの同等の方法で表現できますが、最も簡潔に言えば次のようになります。

${\displaystyle CP=D\cdot (FK)}$

ここで、はコールの（現在の）価値、はプットの（現在の）価値、は割引率、は原資産の先物価格、は権利行使価格です。左側はロングコールとショートプットのポートフォリオに対応し、右側は先物契約に対応します。左側の資産とは現在価値で与えられ、資産と は将来価値（資産の先物価格、および満期時に支払われる権利行使価格）で与えられ、割引率によって現在価値に変換されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$

ここで、スポット価格は、先物価格を係数で割り引くことによって得られます。先物価格の代わりにスポット価格を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle S=D\cdot F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle CP=SD\cdot K}$。

用語を並べ替えると、最初の解釈が得られます。

${\displaystyle C+D\cdot K=P+S}$。

ここで、左側はフィデューシャリー コールです。これはロング コールと、権利行使価格を支払ってそれを行使するのに十分な現金 (または債券) です。右側はマリード プットです。これは資産とペアになっているロング プットで、権利行使時に資産を権利行使価格で売却できます。満期時にはオプションの本質的価値がなくなるため、両側とも少なくとも権利行使価格、または資産の価値(高い場合) と同等のペイオフを得ます。 ${\displaystyle \max(K,S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

現金によるロングコールが資産によるロングプットと同等であるということは、プットコールパリティの 1 つの意味です。

用語を別の方法で並べ替えると、2 番目の解釈が得られます。

${\displaystyle D\cdot KP=SC}$。

ここで、左側は現金担保プット、つまりショート プットと、プットの所有者が権利行使した場合にプットの所有者に渡す十分な現金です。右側はカバード コールで、これは資産とペアになっているショート コールであり、資産はコールの所有者が権利行使した場合にコールされる準備ができています。満期時には、前のシナリオが反転します。両方の側とも、権利行使価格または資産価値のいずれか低い方に等しいペイオフを受け取ります。 ${\displaystyle \min(K,S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

したがって、プットコールパリティは、現金担保（ショート）プットとカバード（ショート）コールの同等性としても理解できることがわかります。現金担保プットの売却は、カバードコールの売却よりもリスクが高いと一般的に考えられているため、これは驚くべきことかもしれません。^[1]

現金の時間的価値と金融変数の時間依存性を明確にするために、元のプットコール パリティ方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

どこ

${\displaystyle C(t)}$は時刻における通話の値であり、${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(t)}$同じ満期日のプットの価値である。

${\displaystyle S(t)}$原資産のスポット価格である。

${\displaystyle K}$は行使価格であり、

${\displaystyle B(t,T)}$は、時点 に 1 ドルで満期を迎えるゼロクーポン債の現在価値、つまり割引率です。${\displaystyle T}$${\displaystyle K.}$

式の右側の項は、受渡価格 で株式の先渡契約を購入する価格でもあることに注意してください。したがって、この式の読み方の一つは、コールをロングしプットをショートするポートフォリオは、先渡をロングすることと同じであるということです。特に、原資産が取引可能ではないが、その先渡が存在する場合、右側の式を先渡の価格で置き換えることができます。 ${\displaystyle K}$

債券利子率、が一定であると仮定すると、 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(Tt)}}$

注: は利子の力を指し、これは低金利の場合の実効年利率にほぼ等しくなります。ただし、特に金利が高く期間が長い場合は、近似値に注意する必要があります。正確に求めるには、 を使用します。ここで は実効年利率です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=\ln(1+i)}$${\displaystyle i}$

オプションの有効期間中に支払われる配当がわかっている株式に付されたヨーロピアン オプションを評価する場合、計算式は次のようになります。

${\displaystyle C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

ここで、 はオプションの残存期間にわたって支払われる 1 株の配当の合計額を現在価値に割り引いた値を表します。 ${\displaystyle D(t)}$

この式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)}$

右側の辺は、前と同様に、受渡価格 の株式先渡契約の価格であることに注意してください。 ${\displaystyle K}$

プット オプションとコール オプションは取引されている株式に関するものであると仮定しますが、原資産は他の取引可能な資産である可能性があります。原資産を売買できることは、以下の「裁定取引なし」の議論にとって非常に重要です。

まず、裁定機会がない（価格に裁定がない）という仮定の下では、 T の時点で常に同じペイオフを持つ 2 つのポートフォリオは、それ以前のどの時点でも同じ価値を持つはずであることに注意してください。これを証明するために、 Tより前のいずれかの時点tで、一方のポートフォリオが他方よりも安かったと仮定します。その場合、安い方のポートフォリオを購入（ロング）し、高い方のポートフォリオを売却（ショート）することができます。Tの時点では、株価がどのような値であっても、ポートフォリオ全体の価値はゼロになります（すべての資産と負債が相殺されます）。したがって、 t の時点で得た利益はリスクのない利益ですが、これは裁定がないという仮定に反します。

同じペイオフ（静的複製）を持つ 2 つのポートフォリオを作成し、上記の原則（合理的価格設定）を適用することで、プットコール パリティ関係を導出します。

配当金を支払わない株式Sについて、同じ行使価格Kで同じ日付Tに満期を迎えるコール オプションとプット オプションについて考えます。満期日Tに 1 ドルを支払う債券が存在すると仮定します。債券の価格は (株式と同様に) ランダムですが、満期時には 1 に等しくなければなりません。

時刻 t におけるSの価格を S(t) とします。ここで、同じ満期Tで権利行使価格Kのコール オプションCを購入し、プット オプションPを売却してポートフォリオを組み立てます。このポートフォリオのペイオフはS(T) - Kです。次に、1 株を購入し、 K 本の債券を借りて 2 番目のポートフォリオを組み立てます。後者のポートフォリオのペイオフも時刻TでS(T) - K であることに注意してください。これは、 S(t)で購入した株の価値はS(T)で、借りた債券の価値はKであるためです。

同一のペイオフは、両方のポートフォリオが一般的な時点で同じ価格を持つ必要があることを意味するという予備的な観察により、さまざまな商品の価値の間には次の関係が存在します。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,}$

したがって、裁定取引の機会がない場合、プットコールパリティとして知られる上記の関係が維持され、コール、プット、債券、株式の任意の 3 つの価格に対して、4 番目の価格の暗示価格を計算できます。

配当の場合、修正された式は上記と同様の方法で導き出すことができますが、一方のポートフォリオはコールの買い、プットの売り、および満期Tに 1 ドルを支払うD(T)債券の買いで構成されます(債券はt の時点でD(t) の価値になります)。もう一方のポートフォリオは前と同じで、株式 1 株の買い、Tに 1 ドルを支払うK債券の売りです。違いは、 T の時点で株式の価値がS(T)であるだけでなく、配当として D(T)を支払っていることです。

プットコール パリティの形式は中世の時代から実践され、20 世紀初頭に多くの著者によって正式に説明されました。

マイケル・ノールは、著書『近代金融イノベーションの古代のルーツ：規制アービトラージの初期の歴史』の中で、中世イングランドにおける現代の住宅ローンの特徴である 償還の公平性の発展において、プット・コール・パリティが果たした重要な役割について説明しています。

19 世紀、金融家ラッセル・セージはプット・コール・パリティを利用して、当時の高利貸し法で通常認められていたよりも高い金利の合成ローンを生み出しました。^{[引用が必要]}

ニューヨークのオプション裁定取引業者であるネルソンは、プットコールパリティを詳細に説明した「オプションと裁定取引のABC」という本を1904年に出版しました。彼の本は2000年代初頭にエスペン・ガーダー・ハウグによって再発見され、ネルソンの本からの多くの参考文献がハウグの著書「モデル上のデリバティブモデル」に記載されています。

ヘンリー・ドイチュは、1910 年に著書「地金、硬貨、紙幣、株式、株券およびオプションの裁定取引、第 2 版」(ロンドン: Engham Wilson) でプットコール パリティについて説明していますが、ネルソン (1904) ほど詳細ではありません。

数学教授のヴィンツェンツ・ブロンズィンも 1908 年にプットコール パリティを導き出し、それを裁定取引の議論の一部として使用して、一連の異なる分布の下での一連の数学的オプション モデルを開発しました。ブロンズィン教授の研究は、最近、ヴォルフガング・ハフナー教授とハインツ・ツィンマーマン教授によって再発見されました。ブロンズィン教授の元の研究はドイツ語で書かれた本で、現在はハフナーとツィンマーマンの編集著作として英語に翻訳され出版されています (「ヴィンツェンツ・ブロンズィンのオプション価格設定モデル」、Springer Verlag )。

現代の学術文献で最初に記述されたのは、ハンス・R・ストールが『ジャーナル・オブ・ファイナンス』に書いたものであると思われる。[ 2 ] ^{[ 3]}

プットコールパリティは以下を意味します。

• コールとプットの等価性: パリティとは、コールとプットがデルタ中立ポートフォリオで互換的に使用できることを意味します。 がコールのデルタである場合、コールを購入して株式を売却することは、プットを売却して株式を売却することと同じです。コールとプットの等価性は、オプション取引において非常に重要です。^{[引用が必要]}${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 1-d}$
• インプライドボラティリティの同一性：配当やその他のキャリーコストがない場合（株の借り入れや空売りが難しい場合など）、コールとプットのインプライドボラティリティは同一でなければならない。^[4]

• スポット先物パリティ
• ヴィンツェンツ・ブロンジン

• プットコールパリティ
  • プットコール パリティ、サルマン カーン (教育者)によるチュートリアル
  • プットコール パリティと裁定取引の機会、investopedia.com
  • 現代金融イノベーションの古代のルーツ：規制裁定取引の初期の歴史、マイケル・ノールのプットコールパリティの歴史
• その他の裁定関係
  • オプションの裁定関係、セイヤー・ワトキンス教授
  • オプション価格設定の合理的ルールと境界条件 ( PDFDi )、ドン・M・チャンス教授
  • オプションの無裁定限界、ロバート・ノヴィ・マルクス教授
• ツール
  • オプション裁定関係、キャンベル・R・ハーヴェイ教授