プトレマイオスの不等式

ユークリッド幾何学において、プトレマイオスの不等式は、平面または高次元空間内の4 つの点によって決定される6 つの距離を関連付けます。任意の 4 つの点A、B、C、およびDに対して、次の不等式が成り立つことを述べています。

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

ギリシャの 天文学者であり数学者である プトレマイオスにちなんで名付けられました。

4つの点は、3つの異なる方法（反転は区別できないものとしてカウント）のいずれかで順序付けられ、3つの異なる四辺形を形成できます。それぞれの四辺形について、対辺の積の合計は、少なくとも対角線の積と同じ大きさです。したがって、不等式の3つの積項は、不等式の右側に配置するように加法的に並べ替えることができるため、四辺形のいずれかの対辺または対角線の3つの積は、三角不等式に従わなければなりません。^[1]

特別な場合として、プトレマイオスの定理によれば、4 つの点が円上に循環的な順序で並んでいるとき、不等式は等式になります。等式のもう 1 つのケースは、4 つの点が共線的な順序で並んでいるときです。この不等式は、ユークリッド空間から任意の距離空間には一般化されません。この不等式が有効な空間はプトレマイオス空間と呼ばれ、これには内積空間、アダマール空間、プトレマイオス グラフ上の最短経路距離が含まれます。

プトレマイオスの不等式は、4つの点が巡回順序で与えられた凸四辺形の頂点である特殊なケースについて述べられることが多い。 ^{[2] [3]}しかし、この定理はより一般的に任意の4点に適用され、それらが形成する四辺形が凸、単純、または平面である必要はない。

平面上の点については、4点のうちの1点を中心とする反転によって三角不等式からプトレマイオスの不等式を導くことができる。 ^{[4] [5]}あるいは、複素数恒等式を用いて 4点を複素数として解釈することによっても導くことができる。

${\displaystyle (AB)(CD)+(AD)(BC)=(AC)(BD)}$

与えられた四辺形の辺の積を辺の長さとする三角形を描き、この三角形に三角不等式を適用します。^[6]また、点を複素射影直線に属するものとみなし、点の2つの交差比の絶対値の合計が少なくとも1になるという形で不等式を表現し、交差比自体を足すとちょうど1になるという事実からこれを推論することもできます。^[7]

3次元空間の点の不等式の証明は、任意の非平面四辺形について、四辺形が平面になるまで点の1つを対角線の周りで回転させ、もう一方の対角線の長さを増やし、他の5つの距離を一定に保つことが可能であることを観察することによって、平面の場合に簡略化できます。^[6] 3次元よりも高い次元の空間では、任意の4つの点が3次元の部分空間にあり、同じ3次元の証明を使用できます。

円の周囲に4つの点がある場合、プトレマイオスの不等式は等式となり、プトレマイオスの定理として知られています。

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

プトレマイオスの不等式の反転に基づく証明では、4つの共円点をそのうちの1つを中心とする反転によって変換すると、他の3つが共線的になるため、これらの3点の三角形の等式（プトレマイオスの不等式が導かれる）も等式になります。^[5]他の4点については、プトレマイオスの不等式は厳密です。

3Dの4つの非共面点A、B、C、Dは四面体を形成します。この場合、厳密な不等式が成り立ちます。 [ ^8]${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

プトレマイオスの不等式は、より一般的には任意の内積空間で成り立ち、^{[1] [9]実}ノルムベクトル空間で成り立つときはいつでも、その空間は内積空間でなければならない。^{[9] [10]}

他の種類の距離空間では、不等式は有効である場合もそうでない場合もあります。不等式が成り立つ空間は、トレマイオスと呼ばれます。たとえば、図に示す 4 頂点のサイクルグラフを考えます。このグラフでは、すべての辺の長さが 1 に等しくなります。対角線の積の合計は 2 です。ただし、対角線の積は互いに 2 離れているため、対角線の積は 4 となり、辺の積の合計よりも大きくなります。したがって、このグラフの最短経路距離はトレマイオスのグラフではありません。距離がトレマイオスの不等式に従うグラフは、トレマイオスグラフと呼ばれ、任意のグラフと比較して制限された構造を持ちます。特に、図に示すような 3 を超える長さの誘導サイクルは許可されません。^[11]

プトレマイオス空間にはすべてのCAT(0)空間と特にすべてのアダマール空間が含まれる。完全リーマン多様体がプトレマイオス空間であれば、それは必然的にアダマール空間である。^[12]

がベクトル空間上のノルムであると仮定すると、このノルムはプトレマイオスの不等式を満たします。 上の内積が存在し、すべてのベクトルに対してとなる 場合のみ、この内積が存在します。 ^{[13]このような内積が存在するためのもう1つの必要かつ十分な条件は、ノルムが}平行四辺形法則を満たすことです。 この場合、この内積は一意になり、分極恒等式 を使用してノルムに関して定義できます。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle \|xy\|\,\|z\|~+~\|yz\|\,\|x\|~\geq ~\|xz\|\,\|y\|\qquad {\text{ すべてのベクトル }}x,y,z について。}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$${\displaystyle x\in X.}$$${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

• ギリシャの数学 – 古代ギリシャ人の数学
• 平行四辺形の法則 – 平行四辺形の4辺の平方の合計は2つの対角線の平方の合計に等しい
• 偏極恒等式 – 内積空間におけるノルムと内積の関係を表す式
• プトレマイオス – ローマの天文学者、地理学者 (100 年頃 - 170 年)
• プトレマイオスの弦表 – 西暦 2 世紀の三角関数表
• プトレマイオスの定理 – 四辺形の 4 辺と 2 対角線が共通の円上にあることを関係づける