半完全数

半完全数

キュイズネール ロッドを使用した、数字 6 の完璧さのデモンストレーション。
総学期数	無限
最初の学期	6、12、18、20、24、28、30​​​​​​​​​​​​
OEIS指数	A005835 擬似完全数（または半完全数）

数論において、半完全数または擬似完全数は、その真約数のすべてまたは一部の和に等しい自然数 nである。その真約数のすべての和に等しい半完全数は完全数である。

最初の半完全数は、6、12、18、20、24、28、30、36、40、... （OEISのシーケンスA005835） です。​​​​​

• 半完全数のすべての倍数は半完全である。 ^[1]それより小さい半完全数では割り切れ ない半完全数は原始数と呼ばれる。
• 自然数mと奇数の素数pに対して 2 ^m pの形式を持ち、p < 2 ^{m +1}となる数もすべて半完全数である。
  • 特に、2 ^m (2 ^{m +1}  − 1) の形式のすべての数は半完全数であり、2 ^{m +1}  − 1 がメルセンヌ素数である場合は完全数になります。
• 最小の奇数の半完全数は945です(たとえば、Friedman 1993 を参照)。
• 半完全数は必ず完全数か過剰数のいずれかである。半完全数ではない過剰数は奇数と呼ばれる。
• 2 を除いて、すべての主要な擬似完全数は半完全数です。
• 2 の累乗ではない実際の数はすべて半完全数です。
• 半完全数の集合の自然密度が存在する。^[2]

A primitive semiperfect number (also called a primitive pseudoperfect number, irreducible semiperfect number or irreducible pseudoperfect number) is a semiperfect number that has no semiperfect proper divisor.^[2]

The first few primitive semiperfect numbers are 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (sequence A006036 in the OEIS)

There are infinitely many such numbers. All numbers of the form 2^mp, with p a prime between 2^m and 2^m+1, are primitive semiperfect, but this is not the only form: for example, 770.^[1][2] There are infinitely many odd primitive semiperfect numbers, the smallest being 945, a result of Paul Erdős:^[2] there are also infinitely many primitive semiperfect numbers that are not harmonic divisor numbers.^[1]

Every semiperfect number is a multiple of a primitive semiperfect number.

• Hemiperfect number
• Erdős–Nicolas number

• Friedman, Charles N. (1993). "Sums of divisors and Egyptian fractions". Journal of Number Theory. 44 (3): 328–339. doi:10.1006/jnth.1993.1057. MR 1233293. Zbl 0781.11015.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2.
• Sierpiński, Wacław (1965). "Sur les nombres pseudoparfaits". Mat. Vesn. Nouvelle Série (in French). 2 (17): 212–213. MR 0199147. Zbl 0161.04402.
• Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni (1972). "Perfect, semiperfect and Ore numbers". Bull. Soc. Math. Grèce. Nouvelle Série. 13: 12–22. MR 0360455. Zbl 0266.10012.

• Weisstein, Eric W. "Pseudoperfect Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Primitive semiperfect number". MathWorld.