物価指数

物価指数（複数形：「価格指数」または「価格インデックス」）は、特定の期間における特定の地域における特定の商品または サービスの相対価格の正規化された平均（通常は加重平均）です。これは、これらの相対価格が全体として、期間または地理的な場所によってどのように異なるかを比較するのに役立つように設計された統計 です。

物価指数には、いくつかの潜在的な用途があります。特に広範な指数の場合、その指数は経済の一般的な物価水準または 生活費を測定するものと言えます。より限定された物価指数は、生産者の事業計画や価格設定に役立ちます。場合によっては、投資のガイドとして役立つこともあります。

注目すべき価格指数には以下のものがあります。

• 消費者物価指数
• 生産者物価指数
• 卸売物価指数
• 雇用コスト指数
• 輸出価格指数
• 輸入物価指数
• GDPデフレーター

最初の物価指数を誰が作成したかについては、明確なコンセンサスが得られていない。この分野で最も古い研究は、ウェールズ人の ライス・ヴォーンによるもので、1675年に著した『貨幣と貨幣に関する論説』で物価水準の変化を調べた。ヴォーンは、スペインが新世界から持ち込んだ貴金属の流入によるインフレの影響と、通貨の切り下げによる影響を切り離そうとした。ヴォーンは、当時の労働法令をエドワード3世に遡る類似の法令と比較した。これらの法令は特定の作業の賃金を設定し、賃金水準の変化の優れた記録を提供した。ヴォーンは、基本労働の市場は時間とともにあまり変動せず、基本労働者の給料はおそらく異なる時期に同じ量の商品を購入できるため、労働者の給料は商品のバスケットとして機能すると推論した。ヴォーンの分析によると、イングランドの物価水準は前世紀に6～8倍に上昇していた。^[1]

ヴォーンは物価指数研究の先駆者とみなされるが、彼の分析は実際には指数の計算を伴わなかった。^[1] 1707年、英国人ウィリアム・フリートウッドが、おそらく最初の真の物価指数を作成した。オックスフォードの学生がフリートウッドに、物価がどのように変化したかを示すのを手伝ってほしいと頼んだ。15世紀の規定により、年間収入が5ポンドを超える学生は奨学金を受け取ることができなかったため、その学生は奨学金を失うことになった。すでに物価の変化に関心を持っていたフリートウッドは、数百年前にさかのぼる大量の物価データを収集していた。フリートウッドは、平均価格相対値からなる指数を提案し、その方法を使用して、5ポンドの価値が260年間で大きく変化したことを示した。彼はオックスフォードの学生を代表して議論し、匿名でChronicon Preciosumと題した書籍に研究結果を発表した。^[2]

一連の商品とサービスが与えられた場合、ある期間における取引の市場価値の合計は ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sum _{c\,\in \,C}(p_{c,t}\cdot q_{c,t})}$

どこ

${\displaystyle p_{c,t}\,}$期間中の実勢価格を表す${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle q_{c,t}\,}$期間中に販売された数量を表す${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$

2つの期間とにわたって、各商品またはサービスが同じ数量で、異なる価格で販売された場合、 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle q_{c,t_{n}}=q_{c}=q_{c,t_{0}}\,\forall c}$

そして

${\displaystyle P={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c})}}}$

これは、ある期間のセット価格を他の期間の価格と比較して 適切に測定するものであり、販売数量に応じて重み付けされた全体的な相対価格を測定する指数を提供します。

もちろん、実用上、購入数量が 2 つの期間にわたって同一になることはほとんどありません。そのため、これはあまり実用的なインデックス式ではありません。

式を少し変更して、

${\displaystyle P={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{n}})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{0}})}}}$

ただし、この新しい指数は、販売数量の増加または減少を価格の変化と区別するものではありません。これが事実であることを確認するには、 から までのすべての価格が 2 倍になり、数量は同じままである場合に何が起こるかを考えてみましょう。 は 2 倍になります。次に、 から までのすべての数量が2 倍になり、価格はすべて同じである場合に何が起こるかを考えてみましょう。 は 2 倍になります。どちらの場合でも、 の変化は同じです。したがって、は価格指数であると同時に数量指数でもあります。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

この困難を補うために、さまざまな指標が構築されてきました。

物価指数を計算するために使用される最も基本的な2つの公式は、パーシェ指数（経済学者ヘルマン・パーシェ [ˈpaːʃɛ]にちなんで）とラスパイレス指数（経済学者エティエンヌ・ラスパイレス [lasˈpejres]にちなんで）です。

パーシェ指数は次のように計算される。

${\displaystyle P_{P}={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{n}})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{n}})}}}$

ラスパイレス指数は次のように計算される。

${\displaystyle P_{L}={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{0}})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{0}})}}}$

ここで、は 2 つの期間における価格レベルの相対指数、は基準期間 (通常は最初の年)、は指数が計算される期間です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{n}}$

数式の唯一の違いは、前者は期間 n の量を使用するのに対し、後者はベース期間 (期間 0) の量を使用することです。どの指数がどの期間を使用するかを覚えるのに役立つ記憶法は、アルファベットでは L が P の前に来るため、ラスパイレス指数は最初のベース量を使用し、パーシェ指数は最後の量を使用することです。

個々の消費者の束に適用すると、ラスパイレス指数 1 は、所得が変化していないことを前提として、現在の期間のエージェントが前期に消費したのと同じ束を購入する余裕があることを示します。パーシェ指数 1 は、所得が変化していないことを前提として、エージェントが現在の期間に消費しているのと同じ束を基準期間に消費できた可能性があることを示します。

したがって、パーシェ指数は、現在の年の価格と現在の年の数量を使用した商品のバンドルを基準とする指数と考えることができます。同様に、ラスパイレス指数は、現在の価格と基準期間の数量を使用した商品のバンドルを基準とする価格指数と考えることができます。

ラスパイレス指数はインフレを過大評価する傾向があり（生活費の枠組みで）、パーシェ指数はインフレを過小評価する傾向があります。これは、消費者が通常、価格の変化に反応して購入する量を変えるという事実が指数で考慮されていないためです。たとえば、商品の価格が上昇した場合、他の条件が同じであれば、その商品の需要量は減少するはずです。 ${\displaystyle c}$

多くの価格指数は、ロウ指数の手順で計算されます。ロウ価格指数では、各項目に関連付けられた支出または数量の重みは、各指数期間から取得されるわけではありません。通常、それらは以前の期間から継承され、これは支出基準期間と呼ばれることもあります。通常、支出の重みは時々更新されますが、価格はすべての期間で更新されます。 「価格は、指数が要約する期間から抽出されます。」^{[3] [4]}ロウ指数は、経済学者ジョセフ・ロウにちなんで名付けられました。カナダ統計局、米国労働統計局、その他多くの国の統計局が発表するほとんどのCPIと雇用コスト指数は、ロウ指数です。^{[5] [6] [7] [8]}ロウ指数は「修正ラスパイレス指数」と呼ばれることもあり、主な修正点は、数量ウェイトを毎期よりも少ない頻度で抽出することです。消費者物価指数の場合、さまざまな種類の支出のウェイトは通常、家計の予算に関する調査から計算されますが、そのような調査は価格データの収集よりも頻度が低くなります。別の言い方をすると、ラスパイレス指数とパーシェ指数は、すべての価格と数量データが毎期更新されるロウ指数の特別なケースです。^[3]

国同士の生産量の比較には、ロウ数量指数がよく使われる。世界銀行の国際比較プログラムで使われているギアリー＝カミス法はこのタイプである。ここでは、数量データは複数の国から各期間ごとに更新されるが、組み込まれる価格は一定期間同じままである（例えば「国グループの平均価格」）。^[3]

マーシャル・エッジワース指数（経済学者アルフレッド・マーシャルとフランシス・イシドロ・エッジワースにちなんで名付けられた）は、数量の算術平均を使用して、ラスパイレス指数とパーシェ指数による過大評価と過小評価の問題を克服しようとします。

${\displaystyle P_{ME}={\frac {\sum [p_{c,t_{n}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (q_{c,t_{0}}+q_{c,t_{n}})]}{\sum [p_{c,t_{0}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (q_{c,t_{0}}+q_{c,t_{n}})]}}={\frac {\sum [p_{c,t_{n}}\cdot (q_{c,t_{0}}+q_{c,t_{n}})]}{\sum [p_{c,t_{0}}\cdot (q_{c,t_{0}}+q_{c,t_{n}})]}}$

フィッシャー指数は、経済学者アーヴィング・フィッシャーにちなんで名付けられ、フィッシャー理想指数としても知られ、との幾何平均として計算されます。 ${\displaystyle P_{P}}$${\displaystyle P_{L}}$

${\displaystyle P_{F}={\sqrt {P_{P}\cdot P_{L}}}}$^[9]

これらすべての指数は、期間または場所間の相対価格の 全体的な測定値を提供します。

価格指数は指数番号として表されます。指数番号は、絶対値ではなく相対的な変化を示す数値です (つまり、ある価格指数値を別の価格指数値または基準値と比較することはできますが、数値だけでは意味がありません)。価格指数では通常、基準年を選択し、その指数値を 100 にします。1 年おきに、その基準年に対するパーセンテージで表されます。この例では、2000 年を基準年とします。

• 2000年: 元の指数値は2.50ドルでした。2.50ドル/2.50ドル = 100%なので、新しい指数値は100です。
• 2001年: 元の指数値は2.60ドルでした。2.60ドル/2.50ドル = 104%なので、新しい指数値は104です。
• 2002年: 元の指数値は2.70ドルでした。2.70ドル/2.50ドル=108%なので、新しい指数値は108です。
• 2003年: 元の指数値は2.80ドルでした。2.80ドル/2.50ドル = 112%なので、新しい指数値は112です。

指数がこのように正規化されると、たとえば、数字 112 の意味は、商品バスケットの合計コストが基準年 (この場合は 2000 年) より 2001 年には 4% 増加し、2002 年には 8% 増加し、2003 年には 12% 増加することを意味します。

上記の定義からわかるように、基準期間の価格と数量データ（または、価格と支出データ）がすでにある場合、新しい期間のラスパイレス指数を計算するには、新しい価格データのみが必要です。対照的に、新しい期間の他の多くの指数（たとえば、パーシェ指数）を計算するには、新しい期間ごとに新しい価格データと新しい数量データの両方（または、新しい価格データと新しい支出データの両方）が必要です。新しい価格データのみを収集する方が、新しい価格データと新しい数量データの両方を収集するよりも簡単な場合が多いため、新しい期間のラスパイレス指数を計算するには、新しい期間のこれらの他の指数を計算するよりも時間と労力が少なくて済む傾向があります。^[10]

実際には、各国の統計機関が定期的に作成し公表する物価指数は、前述の通り、現在の期間の数量や支出データを入手するのが困難なため、ラスパイレス型となっている。

場合によっては、特に集計データの場合、支出データの方が数量データよりも容易に入手できることがあります。^[11]このような場合、指数は数量ではなく相対価格と基準年支出で定式化することができます。

ラスパイレス指数の公式化は次のとおりです。

を基準期間における財 c への総支出とすると、（定義により）となり 、 したがって も 成り立ちます。これらの値をラスパイレス公式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle E_{c,t_{0}}}$${\displaystyle E_{c,t_{0}}=p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{0}}}$${\displaystyle {\frac {E_{c,t_{0}}}{p_{c,t_{0}}}}=q_{c,t_{0}}}$

${\displaystyle P_{L}={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{0}})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{0}})}}={\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot {\frac {E_{c,t_{0}}}{p_{c,t_{0}}}})}{\sum E_{c,t_{0}}}}={\frac {\sum ({\frac {p_{c,t_{n}}}{p_{c,t_{0}}}}\cdot E_{c,t_{0}})}{\sum E_{c,t_{0}}}}}$

同様の変換は任意のインデックスに対して行うことができます。

上記の価格指数は、固定された基準期間を基準として計算されました。別の方法として、各期間の基準期間を直前の期間とすることもできます。これは、上記のどの指数でも実行できます。以下はラスパイレス指数の例です。 は指数を計算する期間で、はシリーズの価値を固定する参照期間です。 ${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle P_{t_{n}}={\frac {\sum (p_{c,t_{1}}\cdot q_{c,t_{0}})}{\sum (p_{c,t_{0}}\cdot q_{c,t_{0}})}}\times {\frac {\sum (p_{c,t_{2}}\cdot q_{c,t_{1}})}{\sum (p_{c,t_{1}}\cdot q_{c,t_{1}})}}\times \cdots \times {\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{n-1}})}{\sum (p_{c,t_{n-1}}\cdot q_{c,t_{n-1}})}}}$

各学期

${\displaystyle {\frac {\sum (p_{c,t_{n}}\cdot q_{c,t_{n-1}})}{\sum (p_{c,t_{n-1}}\cdot q_{c,t_{n-1}})}}}$

「期間と期間の間で価格が何倍に上昇したか」という質問に答えます。これらを掛け合わせると、「期間以降に価格が何倍に上昇したか」という質問に答えます。指数はこれらの掛け合わせの結果であり、期間価格 に対する相対的な価格を示します。${\displaystyle t_{n-1}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

連鎖は、価格指数の場合と同様に、 数量指数に対しても定義されます。

物価指数の公式は、経済概念（生活費など）との関係や数学的特性に基づいて評価することができます。指数理論の文献では、このような特性のさまざまなテストが提案されています。WE Diewert は、過去の研究をまとめ、物価指数 に対する 9 つのテストの一覧を作成しました。ここで、と は基準期間と参照期間の価格を表すベクトルであり、 と はこれらの期間の数量を表します。^[12]${\displaystyle I(P_{t_{0}},P_{t_{m}},Q_{t_{0}},Q_{t_{m}})}$${\displaystyle P_{t_{0}}}$${\displaystyle P_{t_{m}}}$${\displaystyle Q_{t_{0}}}$${\displaystyle Q_{t_{m}}}$

1. 身元テスト:

   ${\displaystyle I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},\alpha \cdot q_{t_{m}},\beta \cdot q_{t_{n}})=1~~\forall (\alpha ,\beta )\in (0,\infty )^{2}}$

   恒等テストは基本的に、価格が同じままで、数量が互いに同じ比率のままである場合（アイテムの各数量に、最初の期間の場合は 、または後の期間の場合は のいずれかの同じ係数を乗じる）、指数値が 1 になることを意味します。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

2. 比例性テスト:

   ${\displaystyle I(p_{t_{m}},\alpha \cdot p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})=\alpha \cdot I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})}$

   元の期間の各価格が係数 α だけ増加した場合、指数は係数 α だけ増加するはずです。

3. スケールテストにおける変化に対する不変性:

   ${\displaystyle I(\alpha \cdot p_{t_{m}},\alpha \cdot p_{t_{n}},\beta \cdot q_{t_{m}},\gamma \cdot q_{t_{n}})=I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})~~\forall (\alpha ,\beta ,\gamma )\in (0,\infty )^{3}}$

   両期間の価格が 1 倍増加し、両期間の数量が別の 1 倍増加した場合、価格指数は変化しません。言い換えると、数量と価格の値の大きさは、価格指数に影響を与えません。

4. 整合性テスト:

   指数は、価格と数量を測定するために使用される単位の選択によって影響を受けるべきではありません。

5. 時間の対称的な扱い（または、パリティ測定では、場所の対称的な扱い）：

   ${\displaystyle I(p_{t_{n}},p_{t_{m}},q_{t_{n}},q_{t_{m}})={\frac {1}{I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})}}}$

   期間の順序を逆にすると、逆数のインデックス値が生成されます。最新の期間から以前の期間に向かってインデックスを計算する場合、以前の期間からより最近の期間に向かって見つかったインデックスの逆数になります。

6. 商品の対称的な取り扱い:

   すべての商品は指数に対して対称的な影響を及ぼすはずです。同じベクトル セットの異なる順列によって指数が変わることはありません。

7. 単調性テスト:

   ${\displaystyle I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})\leq I(p_{t_{m}},p_{t_{r}},q_{t_{m}},q_{t_{r}})~~\Leftarrow ~~p_{t_{n}}\leq p_{t_{r}}}$

   後期価格の下落を示す価格指数は、後期価格の上昇を示す価格指数よりも低くなるはずです。

8. 平均値検定:

   価格指数によって示される全体的な価格相対は、すべての商品の最小価格相対と最大価格相対の間である必要があります。

9. 円形度テスト:

   ${\displaystyle I(p_{t_{m}},p_{t_{n}},q_{t_{m}},q_{t_{n}})\cdot I(p_{t_{n}},p_{t_{r}},q_{t_{n}},q_{t_{r}})=I(p_{t_{m}},p_{t_{r}},q_{t_{m}},q_{t_{r}})~~\Leftarrow ~~t_{m}\leq t_{n}\leq t_{r}}$

   3 つの順序付けられた期間、、が与えられた場合、期間および期間の物価指数に期間および期間の物価指数を掛けると、期間および期間の物価指数と等しくなるはずです。${\displaystyle t_{m}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle t_{m}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle t_{m}}$${\displaystyle t_{r}}$

価格指数は、商品やサービスの価格や数量の変化を捉えることが多いが、商品やサービスの品質の変化を考慮に入れていないことが多い。価格と品質を関連付ける主な方法、すなわちヘドニック回帰を逆転させることができれば、この問題は克服できる。^[13]そうすれば、品質の変化を価格から計算できる。代わりに、統計機関は一般に、マッチドモデル価格指数を使用する。これは、特定の商品の 1 つのモデルが同じ店舗で一定の時間間隔で価格設定される。マッチドモデル法は、統計機関がこの方法を品質特性の入れ替わりが激しい商品やサービスに適用しようとすると問題になる。たとえば、コンピュータは急速に進歩し、特定のモデルがすぐに時代遅れになる可能性がある。マッチドモデル価格指数を構築する統計学者は、指数で最初に使用された時代遅れの商品の価格と、それを置き換える新しい改良された商品の価格をどのように比較するかを決定する必要がある。統計機関は、このような価格比較を行うためにいくつかの異なる方法を使用する。^[14]

上で議論した問題は、時点tにおける古い商品の価格と、後の時点における新しい商品の価格との差を埋めようとする試みとして表現できる。^[15]${\displaystyle P(M)_{t}}$${\displaystyle P(N)_{t+1}}$

• 重複法では、t と t+1 の両方の期間に収集された両方のアイテムの価格を使用します。相対的な価格/が使用されます。${\displaystyle {P(N)_{t+1}}}$${\displaystyle {P(N)_{t}}}$
• 直接比較法では、 2つの商品の価格差は品質の変化によるものではないと想定し、価格差全体を指数に使用します。/ は価格相対値として使用されます。${\displaystyle P(N)_{t+1}}$${\displaystyle P(M)_{t}}$
• リンク・トゥ・ショー・ノー・チェンジは、直接比較法の逆を前提としており、2つの商品間の差異はすべて品質の変化によるものだと仮定している。リンク・トゥ・ショー・ノー・チェンジに基づく価格相対値は1である。^[16]
• 削除法は、単に価格指数から変動品目の価格相対値を除外するものである。これは、指数内の他の価格相対値の平均を変動品目の価格相対値として使用することと同等である。同様に、クラス平均補完法では、MおよびNと同様の特性（物理的、地理的、経済的など）を持つ品目の平均価格相対値を使用する。 ^[17]

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• 実質価値と名目価値（経済学）
• 米国輸入物価指数
• ボリュームインデックス
• ヴァイムズ・ブーツ指数（VBI） - インフレとスーパーマーケットの価格設定慣行が貧困層に与える不均衡な影響を評価するために提案された指標

• チャンス、WA「指数の起源に関する注記」、経済統計レビュー、第48巻、第1号。（1966年2月）、pp. 108-10。購読URL
• Diewert, WE 第 5 章:「指数」、Essays in Index Number Theory。WE Diewert および AO Nakamura 編。第 1 巻。Elsevier Science Publishers: 1993 年。(オンラインでも入手可能。)
• マカロック、ジェームズ・ヒューストン。『貨幣とインフレーション：マネタリストのアプローチ第2版』、ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ/アカデミック・プレス、1982年。
• トリプレット、ジャック E.「経済理論と BEA の代替数量・価格指数」、Survey of Current Business、1992 年 4 月。
• トリプレット、ジャック E.「価格指数におけるヘドニック指数と品質調整に関するハンドブック：情報技術製品への特別な適用」OECD 科学技術産業局ワーキングペーパー。2004 年 10 月。
• 米国労働省BLS「生産者物価指数に関するよくある質問」。
• ヴォーン、ライス。貨幣と貨幣鋳造についての論説（1675年）。（章ごとにオンラインでも閲覧可能。）

• IMF輸出入価格指数
• IMF PPIマニュアル
• ILO CPIマニュアル

• BLSの消費者物価指数（CPI）データ
• BLSの生産者物価指数（PPI）データ