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幾何学において、共通ネットとは、複数の多面体に折り畳むことができるネットのことです。有効な共通ネットであるためには、重なり合わない辺が存在せず、結果として得られる多面体は面で接続されていなければなりません。この特定のネットの例の研究は 20 世紀末にまで遡りますが、それにもかかわらず、多くの例は見つかっていません。しかし、正多面体と直方体の 2 つのクラスは深く研究されてきました。共通ネットの探索は、通常、広範囲にわたる探索、または平面を敷き詰めるネットの重なりによって行われます。
デメインらは、あらゆる凸多面体は展開して別の凸多面体に折り畳むことができることを証明した。[1]
共通ネットには、厳密なエッジ展開と自由展開という 3 つの種類があります。厳密なエッジ展開とは、折り畳めるさまざまな多面体が同じ折り畳みを使用する共通ネットを指します。つまり、ある多面体を別のネットから折り畳む場合、新しい折り畳みを作成する必要はありません。自由展開とは、反対の場合を指し、さまざまな多面体を折り畳めるように、必要な数の折り畳みを作成できる場合を指します。
共通ネットの多重度は、同じ多面体セットの共通ネットの数を指します。
正多面体
Rourke と Demaine による Geometric Folding Algorithm の未解決問題 25.31 は次のようになります。
「どんなプラトン立体も、切り開いて多角形に展開し、それを別のプラトン立体に再度折り畳むことはできるだろうか？例えば、立方体を四面体に分割することはできるだろうか？」[2]
この問題は、四面体と立方体に折り畳まれると推測されるフラクタル ネットを使用して、白川らによって部分的に解決されました。
非正多面体
直方体
直方体の共通ネットは、主に上原らによって深く研究されてきた。現在までに、最大3つの直方体からなる共通ネットが見つかっているが、1つ以上の多面体に折り畳むことができるネットの例は無数に存在することが証明されている。[10]
*非直交折り畳み
ポリキューブ
ポリキューブの共通ネットの最初の例はジョージ・ミラーの研究で、後にドナルド・クヌースが貢献し、キュービガミパズルに結実しました。[15]これは、7つの木のようなテトラキューブすべてに折りたたむことができるネットで構成されています。ペンタキューブまでのすべての可能な共通ネットが見つかりました。すべてのネットは、依然として自由展開と見なされているにもかかわらず、厳密な直交折り畳みに従います。
デルタ面体
3D 単体多面体
参考文献
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