プレイフェアの公理

幾何学において、プレイフェアの公理はユークリッドの第 5 公理(平行線公理)の代わりに使用できる公理です。

平面上で、直線とその上にない点が与えられた場合、その点を通る直線に平行な^{直線は最大で1本しか引くことができない。 [1]}

これはユークリッド幾何学^[2]におけるユークリッドの平行線公理に相当し、スコットランドの数学者 ジョン・プレイフェアにちなんで名付けられました。最初の4つの公理から、直線LとL上にない点Pが与えられた場合に少なくとも1本の平行線が存在することが次のように証明できるため、「最大で」という節だけで十分です。

1. 垂線を作図する: 公理と以前に確立された定理を使用して、線分Lに垂直で線分Pを通る線分を作図できます。
2. 別の垂線を作図する: 点Pから始めて、最初の垂線に対して 2 番目の垂線を引きます。
3. 平行線: この 2 番目の垂直線は、平行線の定義によりLに平行になります(つまり、第 4 公理に従って、交互の内角は一致します)。

この記述は「平行線はただ1本だけ」というフレーズとともに書かれることが多い。ユークリッドの『原論』では、2本の線が決して交わらない場合に平行線であるとされ、平行線の他の特徴は使用されていない。^{[3] [4]}

この公理はユークリッド幾何学だけでなく、平行性の概念が中心となるアフィン幾何学の幅広い研究にも使われている。アフィン幾何学の設定では、存在の証明を提供する中立幾何学の公理が存在しないため、プレイフェアの公理のより強い形（「最大で1つ」が「唯一の1つ」に置き換えられている）が必要になる。プレイフェア版の公理は非常に人気があり、ユークリッド版の公理ではないにもかかわらず 、ユークリッドの平行公理と呼ばれることが多い^{[5] 。}

プロクロス（410-485年）はユークリッドの注釈I.31（第1巻、命題31）の中で明確にこのことを述べています。^[6]

1785年にウィリアム・ラドラムは平行公理を次のように表現した。^[7]

2 本の直線が 1 点で交わる場合、その 2 本の直線は 3 本目の直線と平行ではありません。

このユークリッド平行性の簡潔な表現は、プレイフェアの教科書『幾何学原論』 （1795年）に採用され、何度も再版された。彼は次のように書いている^[8]

互いに交差する 2 本の直線は、両方が同じ直線に平行になることはできません。

プレイフェアは、ユークリッドの主張を単純化したラドラムらの功績を認めた。その後の展開では、2本の直線の交点が最初に現れ、2本の平行線の否定は、与えられた点を通る唯一の平行線として表現されるようになった。^[9]

1883年、アーサー・ケイリーは英国協会の会長を務め、協会への演説で次のような意見を述べた。^[10]

私の見解は、プレイフェアの形式でのユークリッドの第 12 公理は、証明を必要とせず、私たちの空間の概念、つまり私たちの経験の物理的空間の一部であり、すべての外部経験の根底にある表現であるということです。

デイヴィッド・ヒルベルトが著書『幾何学の基礎』（1899年）^[11]でユークリッド幾何学の新しい公理を示したとき、彼は平行線を議論するために元のユークリッド版ではなくプレイフェアの公理形式を使用した^{[12] 。}

ユークリッドの平行線公理は次のように述べています。

線分が2本の直線と交差し、同じ側で2つの内角を形成し、その合計が2直角未満になる場合、2本の線を無限に延長すると、角度の合計が2直角未満になる側で交わります。^[13]

プレイフェアの定式化と比較した場合のこの声明の複雑さは、平行線公理の議論においてプレイフェアの公理を引用することが一般的になった主な要因であることは間違いありません。

絶対幾何学の文脈では、2 つのステートメントは同等であり、幾何学の残りの公理が存在する限り、それぞれを他方のステートメントと仮定することで証明できることを意味します。これは、ステートメントが論理的に同等である(つまり、論理の形式的な操作のみを使用して、一方を他方から証明できる) という意味ではありません。たとえば、楕円幾何学の球面モデルで解釈すると、一方のステートメントは真ですが、もう一方は真ではありません。^[14]論理的に同等なステートメントは、解釈されるすべてのモデルで同じ真理値を持ちます。

以下の証明では、絶対（中立）幾何学のすべての公理が有効であると仮定しています。

これを示す最も簡単な方法は、三角形の内角の合計が 2 つの直角になるというユークリッドの定理 (第 5 公準に相当) を使用することです。直線とその直線上にない点Pが与えられている場合、点P を通る与えられた直線に垂直な直線tを描き、次に点Pでこの垂線に垂線を引きます。この直線は、交わって三角形を形成することができないため平行であり、これはユークリッドの『原論』第 1 巻命題 27 に述べられています。^[15]ここで、他の平行線は存在しないことがわかります。n がP を通る 2 番目の直線である場合、n はtと鋭角をなし(垂線ではないため)、第 5 公準の仮定が成り立ち、したがってn はと交わります。^[16]${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$

プレイフェアの公理によれば、垂線と垂線の間の線だけが平行線となるので、ユークリッド作図の線は互いに一点で交わることになる。また、角度の合計が2直角未満になる辺でそれが実現されることを証明する必要があるが、これはより困難である。^[17]

プレイフェアの公理とユークリッドの第 5 公準の古典的な等価性は、三角形の合同性がない場合には崩れます。^[18]これは、辺角辺 (SAS) 合同性を除き、ヒルベルトの入射公理、順序公理、合同公理を尊重する方法で角度を再定義する幾何学を構築することによって示されます。この幾何学は、古典的なプレイフェアの公理をモデル化しますが、ユークリッドの第 5 公準はモデル化しません。

ユークリッドの命題30は、「それぞれが第3の線に平行な2本の直線は、互いに平行である」とある。この命題はプレイフェアの公理と論理的に同等であるとオーガスタス・ド・モルガン は指摘した^{[19] 。この指摘は1908年に}TLヒースによって再述された^[20] 。ド・モルガンの議論は以下の通りである。Xを交わる異なる直線のペアの集合とし、Yをそれぞれが1本の共通直線に平行な異なる直線のペアの集合とする。zが異なる直線のペアを表す場合、

すべてのzについて、zがXに含まれる場合、z はYに含まれません。

はプレイフェアの公理（ド・モルガンの用語では、XはYではない）とその論理的に同等な逆説である。

すべてのzについて、zがYに含まれる場合、z はXに含まれません。

ユークリッド I.30、平行性の推移性（YはXではない）です。

最近では、この含意は平行線によって表現される二項関係の観点から別の言い方で表現されています。アフィン幾何学では、この関係は同値関係であるとみなされ、つまり、線はそれ自身と平行であると見なされます。Andy Liu ^[21]は、「P を線 2 上にない点とします。線 1 と線 3 の両方がP を通り、線 2 と平行であるとします。推移性により、それらは互いに平行であるため、正確にP​​ を共有することはできません。したがって、それらは同じ線であり、これは Playfair の公理です。」と書いています。

• プレイフェア、ジョン（1846）。幾何学の原点。WEディーン。
• イヴス、ハワード（1963）、幾何学概論（第1巻）、ボストン：アリン＆ベーコン
• グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（1974）、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学/発展と歴史、サンフランシスコ：WHフリーマン、ISBN 0-7167-0454-4
• ヒース、トーマス L. (1956)。『ユークリッド原論』13 巻([複製。初版:ケンブリッジ大学出版局、1908 年] 第 2 版)。ニューヨーク:ドーバー出版。

(3 巻): ISBN 0-486-60088-2 (第 1 巻)、ISBN 0-486-60089-0 (第 2 巻)、ISBN 0-486-60090-4 (第 3 巻)。