プランシュレルの定理

数学において、プランシュレルの定理（パーセヴァル・プランシュレルの恒等式とも呼ばれる）は、 1910 年にミシェル・プランシュレルによって証明された調和解析の結果です。これはパーセヴァルの定理の一般化であり、科学や工学の分野でよく使用され、フーリエ変換のユニタリー性を証明しています。

定理は、関数の二乗絶対値の積分は、その周波数スペクトルの二乗絶対値の積分に等しいことを述べています。つまり、が実数直線上の関数で、がその周波数スペクトルである場合、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

より正確な定式化は、関数がL ^p空間 と の両方にある場合、そのフーリエ変換は にあり、フーリエ変換はL ²ノルムに関して等長変換である、というものです。これは、 に制限されたフーリエ変換が、プランシュレル変換と呼ばれることもある線形等長写像 への一意の拡張を持つことを意味します。この等長変換は、実際にはユニタリ写像です。実際、これにより、 2 次積分可能な関数のフーリエ変換について話すことが可能になります。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$

この定理の証明はRudin (1987、第 9 章)から入手できます。基本的な考え方は、ガウス分布に対して証明し、密度を使用することです。ただし、標準のガウス分布はフーリエ変換によってそれ自身に変換されるため、その場合、定理は自明です。最後に、フーリエ変換の標準変換特性により、すべてのガウス分布に対して Plancherel が成立することが示されます。

プランシュレルの定理は、 n次元ユークリッド空間 上で述べられているとおり有効です。この定理は、より一般的には局所コンパクトアーベル群でも成り立ちます。また、特定の技術的仮定を満たす非可換局所コンパクト群に対して意味を成すプランシュレルの定理のバージョンもあります。これは、非可換調和解析の主題です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

分極恒等式により、プランシュレルの定理を2つの関数の内積に適用することもできます。つまり、と が2つの関数で、 がプランシュレル変換を表す場合、 となり 、と がさらに関数である 場合、 となり 、 したがって ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\ mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ -2\pi i\xi x}\,dx,}$$$${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{ -2\pi i\xi x}\,dx,}$$

局所コンパクト群のフーリエ変換にはプランシュレルの定理もあります。アーベル群 の場合、上の指標のポントリャギン双対群が存在します。上のハール測度が与えられると、 上の関数のフーリエ変換は上の指標 に対して行われます 。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{1}(G)}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}{\overline {\chi (g)}}f(g)\,dg}$$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle G}$

プランシュレルの定理は、 上にハール測度、つまり すべての に対してとなる双対測度が存在することを述べています（フーリエ変換も 内にあります）。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

この定理は、多くの非可換局所コンパクト群でも成り立ちますが、既約ユニタリ表現の集合は群ではない場合があります。たとえば、が有限群の場合、は既約指標の集合です。基本的な指標理論から、 が類関数の場合、パーセバルの公式が得られます 。 より一般的には、 が類関数でない場合、ノルムは である ため、プランシュレル測度は各表現をその次元で重み付けします。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$ $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|f(g)|^{2},\quad \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}(\dim \rho )^{2}|{\hat {f}}(\rho )|^{2}.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}\dim \rho \,\operatorname {tr} ({\hat {f}}(\rho )^{*}{\hat {f}}(\rho ))}$$

完全に一般化すると、プランシュレルの定理は、 ノルムが演算子の ヒルベルト・シュミット ノルムであり 、測度 が存在する場合、それをプランシュレル測度と呼ぶというものです。 $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\int _{\hat {G}}\|{\hat {f}}(\rho )\|_{HS}^{2}d\mu (\rho )}$$$${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\int _{G}f(g)\rho (g)^{*}\,dg}$$${\displaystyle \mu}$

• 球面関数のプランシュレル定理

• Plancherel、Michel (1910)、「Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies」、Rendicconti del Circolo Matematico di Palermo、30 (1): 289–335、doi :10.1007/BF03014877、S2CID  122509369。
• Dixmier, J. (1969)、Les C*-algèbres et leurs Représentations、Gauthier Villars。
• 吉田 憲一(1968)、関数解析、シュプリンガー出版。
• ルディン、ウォルター(1987)、「9 つのフーリエ変換」、実数と複素解析(第 3 版)、マグロウヒル ブック カンパニー。

• 「プランシュレルの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathworld のプランシュレルの定理