摂動量子色力学

摂動量子色力学（摂動QCDとも呼ばれる）は、高エネルギーまたは短距離の相互作用では強い結合定数が小さいという事実を利用して、摂動論の手法を適用することで強い相互作用の理論である量子色力学（QCD）を研究する粒子物理学のサブフィールドです。ほとんどの場合、QCDで検証可能な予測を行うことは、位相的に等価でない相互作用が無限にある可能性があるため、非常に困難です。短距離では、結合は十分に小さいため、この無限の数の項は有限の数の項で正確に近似できます。高エネルギーでのみ適用できますが、このアプローチにより、これまでで最も正確なQCDのテストが実現しました^[要出典]。 ${\displaystyle \alpha_{s}}$

摂動論的 QCD の重要なテストは、との生成率の比の測定です。総生成率のみが考慮されるため、すべての最終状態ハドロンの合計によって特定のハドロンの種類への依存性がキャンセルされ、この比は摂動論的 QCD で計算できます。 ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to {\text{ハドロン}}}$${\displaystyle e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}}$

ほとんどの強い相互作用過程は、色の閉じ込めにより自由クォークとグルーオンを観測できないため、摂動論的QCDでは直接計算できません。たとえば、ハドロンの構造は非摂動的な性質を持っています。これを説明するために、物理学者^{[誰? ]}はQCD因数分解定理を開発しました。これは、断面積を、過程に依存する摂動論的に計算可能な短距離パートン断面積と普遍的な長距離関数の2つの部分に分離します。これらの普遍的な長距離関数は、実験へのグローバルフィッティングで測定でき、パートン分布関数、フラグメンテーション関数、マルチパートン相関関数、一般化パートン分布、一般化分布振幅、および多くの種類の形状因子が含まれます。各種類の普遍的な長距離関数には、いくつかの共同研究があります。それらは現代の素粒子物理学の重要な部分となっています。

量子色力学はラグランジアン密度の観点から定式化される

ラグランジアンの物質内容は、スピノル場とゲージ場（グルーオン場とも呼ばれる）です。 ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle A_{\mu}}$

スピノル場には、ガンマ行列が 作用するスピンインデックスと、共変微分が作用するカラーインデックスがあります。 形式的には、スピノル場は、スピンベクトルとカラーベクトルのテンソル積として評価される時空の関数です。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu}}$${\displaystyle \psi (x)}$

量子色力学はゲージ理論であり、それに関連するゲージ群 （コンパクトリー群）を持ちます。色ベクトルは、 の表現空間の要素です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ゲージ場は、のリー代数で値を持ちます。スピノル場と同様に、ゲージ場も時空インデックス を持ち、したがって の要素でテンソル化されたコベクトルとして値を持ちます。リー理論では、となるようなの基底を常に見つけることができます。微分幾何学では、は接続として知られています。 ${\displaystyle A_{\mu}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle t^{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta^{ab}}$${\displaystyle A_{\mu}}$

ゲージ場はラグランジアンには明示的には現れませんが、定義される 曲率を通して現れます。これはグルーオン場強度テンソル、または幾何学的には曲率形式として 知られています。パラメータはQCDの結合定数です。 ${\displaystyle F_{\mu \nu },}$$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu } ]。}$$${\displaystyle g}$

ファインマンスラッシュ記法に拡張して使用することで、ラグランジアンはよりエレガントな形式で図式的に記述できる。 ${\displaystyle F_{\mu \nu}}$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$

この表現は数学的には簡潔で、ゲージ変換に対して不変であるが、摂動計算ではゲージを固定する必要がある。ゲージ固定手順はファデーエフとポポフによって開発された。ゲージ固定手順ではゴーストフィールド を導入する必要がある。これは、ゲージ固定手順の後、ラグランジアンは次のように書かれる。 ${\displaystyle c(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

ここで、 はゲージ固定パラメータです。 を選択することはファインマンゲージとして知られています。 ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi =1}$

曲率と共変微分を展開した後、経路積分法を通じて QCD のファインマン規則を導くことができます。

ゲージ理論と QCD の繰り込み技術は、't Hooftによって開発され実行されました。少数の粒子タイプ (クォークフレーバー) の場合、QCD は負のベータ関数を持ち、したがって漸近的自由度を示します。

QCD が 1 ループの順序で繰り込み可能であることを示すには、ループ積分の評価が必要です。ループ積分は、ファインマン規則から導出され、次元正則化を使用して評価できます。

• QCD におけるハードプロセスの因数分解

• Peskin, ME, Schroeder, DV (1995)。量子場理論入門。Westview Press。